§ 101. Движение в центрально-симметричном гравитационном поле

Рассмотрим движение частицы в центрально-симметричном гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, движение будет происходить в одной «плоскости», проходящей через центр поля; выберем эту плоскость в качестве плоскости .

Для определения траектории частицы воспользуемся уравнением Гамильтона — Якоби

где — масса частицы (массу же центрального тела обозначим здесь как ). С метрическим тензором из (100,14) это уравнение принимает вид

(101,1)

где — гравитационный радиус центрального тела.

По общим правилам решения уравнения Гамильтона — Якоби ищем S в виде

с постоянными энергией и моментом импульса М. Подставив (101,2) в (101,1), найдем производную и затем:

Зависимость дается, как известно (см. I § 47), уравнением , откуда

Траектория же определяется уравнением , откуда

Этот интеграл приводится к эллиптическому.

Для движения планет в поле тяготения Солнца релятивистская теория приводит лишь к незначительным поправкам по сравнению с теорией Ньютона, поскольку скорости планет очень малы по сравнению со скоростью света.

В уравнении траектории (101,5) этому соответствует малость отношения где — гравитационный радиус Солнца.

Для вычисления релятивистских поправок к траектории удобно исходить из выражения (101,3) радиальной части действия до его дифференцирования по М. Заменим переменную интегрирования согласно , в результате чего член с АР под корнем пршет вид . В остальных же членах производим разложение по степеням и получаем с требуемой точностью:

где мы для краткости опустили штрих у и ввели нерелятивистскую энергию (без энергии покоя).

Поправочные члены в коэффициентах в первых двух членах под корнем отражаются только на не представляющем особого интереса изменении связи между энергией и моментом частицы и параметрами ее ньютоновской орбиты (эллипса). Изменение же коэффициента при приводит к более существенному эффекту к систематическому (вековому) смещению перигелия орбиты.

Поскольку траектория определяется уравнением , то изменение угла за время одного оборота планеты по орбите есть

где — соответствующее изменение Разлагая по степеням малой поправки в коэффициент при получим:

где соответствует движению по несмещающемуся замкнутому эллипсу. Дифференцируя это соотношение по М и учитывая, что

найдем:

Второй член и представляет собой искомое угловое перемещение ньютоновского эллипса за время одного оборота, т. е. смещение перигелия орбиты.

Выражая его через длину большой полуоси а и эксцентриситет эллипса с помощью известной формулы получим:

Далее рассмотрим путь светового луча в центрально-симметричном гравитационном поле. Этот путь определяется уравнением эйконала (87,9)

отличающимся от уравнения Гамильтона — Якоби только тем, что в последнем надо положить . Поэтому траекторию луча можно получить непосредственно из формулы (101,5), положив в ней при этом вместо энергии частицы надо писать частоту света Введя также вместо постоянной М постоянную согласно , получим:

При пренебрежении релятивистскими поправками это уравнение дает т. е. прямую, проходящую на расстоянии от начала координат. Для исследования же релятивистских поправок поступим аналогично тому, как было сделано в предыдущем случае.

Для радиальной части эйконала имеем

Производя такие же преобразования, которые служили для перехода от (101,3) к (101,6), получим:

Разлагая теперь подынтегральное выражение по степеням , имеем:

где отвечает классическому прямолинейному лучу.

Полное изменение при распространении луча от некоторого очень большого расстояния R до ближайшей к центру точки и затем снова на расстояние R есть

Соответствующее же изменение полярного угла вдоль луча получается дифференцированием по :

Наконец, переходя к пределу и замечая, что прямолинейному лучу соответствует , получим:

Это значит, что под влиянием поля тяготения световой луч искривляется: его траектория представляет собой кривую, обращенную вогнутостью к центру «притягивается» к центру), так что угол между ее двумя асимптотами отличается от на

другими словами, луч света, проходящий на расстоянии от центра поля, отклоняется на угол .