Главная > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 17. Уравнения движения заряда в поле

Заряд, находящийся в поле, не только подвергается воздействию со стороны поля, но в свою очередь сам влияет на поле, изменяя его. Однако если заряд не велик, то его действием на поле можно пренебречь. В этом случае, рассматривая движение в заданном поле, можно считать, что само поле не зависит ни от координат, ни от скорости заряда.

Точные условия, которым должен удовлетворять заряд для того, чтобы он мог считаться в указанном смысле малым, будут выяснены в дальнейшем (§ 75). Ниже мы будем считать это условие выполленным.

Итак, нам надо найти уравнения движения заряда в заданном электромагнитном поле. Эти уравнения получаются варьированием действия, т. е. даются уравнениями Лагранжа

где L определяется формулой (16,4).

Производная есть обобщенный импульс частицы (16,5). Далее пишем:

Но по известной формуле векторного анализа

где а и b — любые два вектора. Применяя эту формулу к и помня, что дифференцирование по производится при постоянном v, находим:

Уравнения Лагранжа, следовательно, имеют вид

Но полный дифференциал складывается из двух частей: из изменения векторного потенциала со временем в данной точке пространства и из изменения при переходе от одной точки пространства к другой на расстояние . Эта вторая часть равна . Таким образом,

Подставляя это в предыдущее уравнение, получаем:

Это и есть уравнение движения частицы в электромагнитном - поле. Слева стоит производная от импульса частицы по времени. Следовательно, выражение в правой части (17,2) есть сила, действующая на заряд в электромагнитном поле.

Мы видим, что эта сила состоит из двух частей. Первая часть (первый и второй члены в правой части (17,2)) не зависит от скорости частицы. Вторая часть (третий член) зависит от этой скорости: пропорциональна величине скорости и перпендикулярна к ней.

Силу первого рода, отнесенную к заряду, равному единице, называют напряженностью электрического поля; обозначим ее посредством Е. Итак, по определению,

Множитель при скорости, точнее при в силе второго рода, действующей на единичный заряд, называют напряженностью магнитного поля обозначим ее через Н. Итак, по определению,

Если в электромагнитном поле , то говорят об электрическом поле-, если же , то поле называют магнитным. В общем случае электромагнитное поле является наложением полей электрического и магнитного.

Отметим, что Е представляет собой полярный, а Н — аксиальный вектор.

Уравнения движения заряда в электромагнитном поле можно теперь написать в виде

Стоящее справа выражение носит название лоренцевой силы. Первая ее часть — сила, с которой действует электрическое поле на заряд, — не зависит от скорости заряда и ориентирована по направлению поля Е. Вторая часть — сила, оказываемая магнитным полем на заряд, — пропорциональна скорости заряда и направлена перпендикулярно к этой скорости и к направлению магнитного поля Н.

Для скоростей, малых по сравнению со скоростью света, импульс приближенно равен своему классическому выражению и уравнение движения (17,5) переходит в

Выведем еще уравнение, определяющее изменение кинетической энергии частицы со временем, т. е. производную

Дегко убедиться, что

подставляя из (17,5) и замечая, что имеем

Изменение кинетической энергии со временем есть работа, произведенная полем над частицей (в единицу времени). Из (17,7) видно, что эта работа равна произведению, скорости заряда на силу, с которой действует на него электрическое поле. Работа поля за время т. е. при перемещении заряда на равна

Подчеркнем, что работу над зарядом производит только электрическое поле; магнитное поле не производит работы над движущимся в нем зарядом. Последнее связано с тем, что сила, с которой магнитное поле действует на частицу, всегда перпендикулярна к ее скорости.

Уравнения механики инвариантны по отношению к перемене знака у времени, т. е. по отношению к замене будущего прошедшим. Другими словами, в механике оба направления времени эквивалентны. Это значит, что если согласно уравнениям механики возможно какое-нибудь движение, то возможно и обратное движение, при котором система проходит те же состояния в обратном порядке.

Легко видеть, что то же самое имеет место и в электромагнитном поле в теории относительности. При этом, однако, вместе с заменой t на —t надо изменить знак магнитного поля. Действительно, легко видеть, что уравнения движения (17,5) не меняются, если произвести замену

При этом, согласно (17,3-4), скалярный потенциал не меняется, а векторный меняет знак:

Таким образом, если в электромагнитном поле возможно некоторое движение, то возможно и обратное движение в поле с обратным направлением Н.

Задача

Выразить ускорение частицы через ее скорость и напряженности электрического и магнитного полей.

Решение. Подставляем в уравнение движения (17,5) выражаем согласно (17,7). В результате найдем:

1
Оглавление
email@scask.ru