§ 77. Спектральное разложение излучения в ультрарелятивистском случае

Выше (§ 73) было показано, что излучение ультрарелятивистской частицы направлено в основном вперед, вдоль скорости частицы: оно почти целиком заключено в малом интервале углов

вокруг направления v.

Для вычисления спектрального разложения излучения существенно взаимоотношение между величиной этого интервала и. полным углом отклонения а частицы при пролете через внешнее электромагнитное поле.

Угол а может быть оценен следующим образом. Поперечное (к направлению движения) изменение импульса частицы порядка величины произведения поперечной силы на время пролета через поле (где а — расстояние, на котором поле заметно отлично от нуля). Отношение этой величины к импульсу

и определит порядок величины малого угла а:

Разделив его на найдем:

Обратим внимание на то, что это отношение не зависит от скорости частицы и целиком определяется свойствами самого внешнего поля.

Предположим сначала, что

т. е. полный угол отклонения частицы велик по сравнению с . Тогда мы можем утверждать, что излучение в заданном направлении происходит в основном с того участка траектории, на котором скорость частицы почти параллельна этому направлению (образует с ним угол в интервале ) и длина этого участка мала по сравнению с а. На таком участке поле F можно считать постоянным и поскольку малый участок кривой можно рассматривать как отрезок окружности, то мы можем применить результаты, полученные в § 74 для излучения при равномерном движении по окружности (заменив при этом Я на F). В частности, можно утверждать, что основная часть излучения будет сосредоточена в области частот

(см. (74,16)).

В обратном предельном случае

полный угол отклонения частицы мал по сравнению с . В этом случае все излучение происходит в основном в один узкий интервал углов вокруг направления движения, определяясь при этом всей траекторией частицы.

Для вычисления спектрального разложения интенсивности в этом случае удобно исходить из выражения для поля в волновой зоне излучения в форме Лиенара — Вихерта (73,8). Вычислим компоненту Фурье

Выражение в правой стороне формулы (73,8) есть функция запаздывающего момента времени i, определяющегося из условия . На больших расстояниях от частицы, движу щейся с почти постоянной скоростью v, имеем:

( — радиус-вектор частицы), или

Интегрирование по заменяем интегрированием по , положив

и получаем:

Скорость v рассматривается здесь везде как постоянная величина; переменным является лишь ускорение Введя обозначение

и соответствующую этой частоте компоненту Фурье ускорения, напишем в виде

Наконец, согласно (66,9), находим окончательно для энергии, излученной в телесный угол с частотой в :

Оценку порядка величины частот, в области которых сосредоточена основная часть излучения в случае (77,4), легко сделать, заметив, что компонента Фурье заметно отлична от нуля лишь, если время или, что то же,

будет того же порядка, что и время в течение которого заметным образом меняется ускорение частицы. Поэтому находим:

Зависимость этих частот от энергии такая же, как и в (77,3), но коэффициент иной.

В произведенном (для обоих случаев (77,2) и (77,4)) исследовании подразумевалось, что полная потеря энергии частицей при ее прохождении через поле относительно мала.

Покажем теперь, что к первому из рассмотренных случаев приводится также вопрос об излучении ультрарелятивистской частицей, полная потеря энергии которой сравнима с ее первоначальной энергией. Потерю энергии частицей в поле можно определить как работу силы лоренцева трения. Работа силы (76,4) на пути есть, по порядку величины,

Для того чтобы она оказалась сравнимой с полной энергией частицы поле должно существовать на расстояниях

Но тогда автоматически соблюдается условие (77,2):

поскольку поле F во всяком случае должно удовлетворять условию (76,5), без которого вообще не может применяться обычная электродинамика.

Задачи

1. Определить спектральное распределение полной (по всем направлениям) интенсивности излучения при условии (77,2).

Решение. Излучение с каждого элемента длины траектории определяется формулой (74,13), в которой надо заменить Н на значение F поперечной силы в данной точке и, кроме того, надо перейти от дискретного спектра частот к непрерывному. Этот переход осуществляется формальным умножением на и заменой

Интегрируя затем интенсивность по всему времени, найдем спектральное распределение полного излучения в следующем виде:

где — функция Эйри от аргумента

Подынтегральное выражение зависит от переменной интегрирования t не явным образом через величину и (F, а с ним и и, меняются вдоль траектории частицы; при заданном движении это изменение можно рассматривать как зависимость от времени).

2. Определить спектральное распределение полной (по всем направлениям) излученной энергии при условии (77,4).

Решение. Имея в виду, что основную роль играет излучение под малыми углами к направлению движения, пишем:

Интегрирование выражения (77,6) по углам заменяем интегрированием . При раскрытии квадрата двойного векторного произведения в (77,6) следует иметь в виду, что в ультрарелятивистском случае продольная составляющая ускорения мала по сравнению с поперечной (в отношении ) и в данном случае с достаточной степенью точности можно считать w и v взаимно перпендикулярными. В результате получим для спектрального распределения полного излучения следующую формулу: