§ 13. Упругие столкновения частиц

Рассмотрим, с точки зрения релятивистской механики, упругое столкновение частиц. Обозначим импульсы и энергии двух сталкивающихся частиц (с массами ) через значения величин после столкновения будем отмечать штрихом.

Законы сохранения энергии и импульса при столкновении можно записать вместе в виде уравнения сохранения -импульса:

Составим из этого -векторного уравнения инвариантные соотношения, которые будут удобными для дальнейших вычислений. Для этого перепишем (13,1) в виде

и возведем обе стороны равенства в квадрат (т. е. напишем их скалярные произведения самих на себя). Замечая, что квадраты -импульсов равны а квадраты равны получим:

Аналогичным образом, возведя в квадрат равенство получим:

Рассмотрим столкновение в системе отсчета (л-система), в которой до столкновения одна из частиц (частица ) покоилась. Тогда и фигурирующие в (13,2) скалярные произведения равны

где — угол рассеяния налетающей частицы Подставив эти выражения в (13,2), получим:

Аналогичным образом из (13,3) найдем:

где — угол, образуемый импульсом отдачи с импульсом налетающей частицы

Формулы (13,5-6) связывают углы рассеяния обеих частиц в -системе с изменениями их энергии при столкновениях. Обращая эти формулы, можно выразить энергии через угол или . Так, подставив в (13,6) и возведя равенство в квадрат, после простого вычисления получим:

Обращение же формулы (13,5) приводит в общем случае к весьма громоздкому выражению! через

Отметим, что если т. е. налетающая частица тяжелее покоящейся, то угол рассеяния 01 не может превышать некоторого максимального значения. Элементарным вычислением легко найти, что это значение определяется равенством

(13,8)

в точности совпадающим с известным классическим результатом.

Формулы (13,5-6) упрощаются в случае, когда налетающая частица обладает равной нулю массой: и соответственно

Выпишем для этого случая формулу для энергии налетающей частицы после столкновения, выраженной через угол ее отклонения:

Вернемся снова к общему случаю столкновения частиц любых масс. Наиболее просто столкновение выглядит в -системе. Отмечая значения величин в этой системе дополнительным индексом 0, имеем здесь . В силу сохранения импульса, импульсы обеих частиц при столкновении только поворачиваются, оставаясь равными по величине и противоположными по направлению. В силу же сохранения энергии абсолютные значения каждого из импульсов остаются неизменными.

Обозначим через угол рассеяния в -системе — угол, на который поворачиваются при столкновении импульсы Этой величиной полностью определяется процесс рассеяния в системе центра инерции, а потому и во всякой другой системе отсчета. Ее удобно выбрать также и при описании столкновения в -системе в качестве того единственного параметра, который остается неопределенным после учета законов сохранения энергии и импульса.

Выразим через этот параметр конечные энергии обеих частиц в -системе. Для этого вернемся к соотношению (13,2), но на этот раз раскроем произведение в -системе:

(в -системе энергия каждой из частиц при столкновении не меняется: ). Остальные же два произведения раскрываем по-прежнему в -системе, т. е. берем из (13,4). В результате получим:

Остается выразить через величины, относящиеся к -системе. Это легко сделать путем приравнивания значений инварианта и -системах:

или

Решая это уравнение относительно , получим:

Таким образом, окончательно имеем:

(13,11)

Энергия второй частицы получается из закона сохранения: Поэтому

(13,12)

Вторые члены в этих формулах представляют собой энергию, теряемую первой и приобретаемую второй частицей. Наибольшая передача энергии получается при и равна

(13,13)

Отношение минимальной кинетической энергии налетающей частицы после столкновения к ее первоначальной кинетической энергии:

(13,14)

В предельном случае малых скоростей (когда ) это отношение стремится к постоянному пределу, равному

В обратном же пределе больших энергий отношение (13,14) стремится к нулю; к постоянному же пределу стремится сама величина Этот предел равен

Предположим, что т. е. масса налетающей частицы мала по сравнению с массой покоившейся частицы. Согласно классической механике при этом легкая частица могла бы передать тяжелой только ничтожную часть своей энергии (см. I § 17). Такое положение не имеет, однако, места в релятивистской теории. Из формулы (13,14) видно, что при достаточно больших энергиях доля переданной энергии может достичь порядка 1. Для этого, однако, недостаточно, чтобы скорость частицы была порядка 1, а необходимы, как легко видеть, энергии

т. е. легкая частица должна обладать энергией порядка энергии покоя тяжелой частицы.

Аналогичное положение имеет место при т. е. когда тяжелая частица налетает на легкую. И здесь, согласно классической механике, происходила бы лишь незначительная передача энергии.

Доля передаваемой энергии начинает становиться значительной только начиная от энергий

Отметим, что и здесь речь идет не просто о скоростях порядка скорости света, а об энергиях, больших по сравнению с т. е. об ультрарелятивистском случае.

Задачи

1. На рис. 4 треугольника ABC образован вектором импульса налетающей частицы и импульсами обеих частиц после столкновения. Найти геометрическое место точек С, соответствующих всем возможным значениям .

Решение. Искомая кривая представляет собой Эллипс, полуоси которого могут быть найдены непосредственно с помощью формул, полученные в задаче 1 к § 11.

Рис. 4

Действительно, произведенное там построение представляет собой нахождение геометрического места концов векторов в -системе, получающихся из произвольно направленных векторов с заданной длиной в -системе.

Учитывая, что абсолютные величины импульсов сталкивающихся частиц в -системе одинаковы и меняются при столкновении, мы имеем дело в данном случае с аналогичным построением для вектора для которого в -системе

где V — скорость частицы в -системе, совпадающая по величине скоростью центра инерции, равной (см. ). В результате найдем, что малая и большая полуоси эллипса равны

(первое из этих выражений совпадает, конечно, с (13.10)).

При вектор совпадает с так что расстояние АВ равно Сравнивая с удвоенной большой полуосью эллипса, легко убедиться, что точка А лежит вне эллипса, если (рис. 4, а) и внутри него при (рис. 4, б).

2. Определить минимальный угол разлета частиц после столкво» вения, если массы обеих частиц одинаковы

Решение. При точка А диаграммы лежит на эллипсе, а минимальному углу разлета соответствует положение точки С в конце малой полуоси (рис. 5). Из построения ясно, что дается отношением длин полуосей, и мы находим:

или

Рис. 5.

3. Для столкновения двух частиц одинаковой массы m выразить через угол рассеяния в -системе

Решение. Обращение формулы (13,5) дает в этом случае:

Сравнивая с выражением через x:

найдем угол рассеяния в -системе: