§ 116. Однородные пространства

Предположение об однородности и изотропии пространства определяет его метрику полностью (оставляя свободным лишь знак кривизны). Значительно больше свободы оставляет предположение об одной только однородности пространства, без какой-либо еще дополнительной симметрии. Рассмотрим вопрос о том, каковы могут быть метрические свойства однородного пространства.

Речь будет идти о метрике пространства, рассматриваемой в заданный момент времени t. При этом предполагается, что пространственно-временная система отсчета выбрана синхронной, так что t есть единое для всего пространства синхронизованное время.

Однородность означает одинаковость метрических свойств во всех точках пространства. Точное определение этого понятия связано с рассмотрением совокупности преобразований координат, которые совмещают пространство само с собой, т. е. оставляют его метрику неизменной: если до преобразования элемент длины

то после преобразования тот же элемент

с той же функциональной зависимостью от новых координат. Пространство однородно, если оно допускает совокупность преобразований (или, как говорят, группу движений), позволяющих совместить любую заданную его точку с любой другой точкой. В силу трехмерности пространства очевидно, что для этого различные преобразования группы должны определяться значениями трех независимых параметров.

Так, в евклидовом пространстве однородность выражается инвариантностью метрики по отношению к параллельным переносам (трансляциям) декартовой системы координат. Каждая трансляция определяется тремя параметрами — компонентами вектора смещения начала координат. Все эти преобразования оставляют инвариантными три независимых дифференциала (dx, dy, dz), из которых и строится элемент длины.

В общем случае неевклидова однородного пространства преобразования его группы движений тоже оставляют инвариантными три независимые линейные дифференциальные формы, не сводящиеся, однако, к полным дифференциалам каких-либо координатных функций.

Напишем эти формы в виде

(116,1)

где латинский индекс (а) нумерует три независимых реперных вектора (функции координат).

С помощью форм (116,1) инвариантная по отношению к данной группе движений пространственная метрика строится как

(116,2)

т. е. метрический тензор

где симметричные по индексам а, b коэффициенты — функции времени.

Таким образом, мы приходим к «триадному» представлению пространственной метрики с помощью тройки реперных векторов; к этому представлению применимы все полученные в § 98 формулы. При этом выбор реперных векторов диктуется свойствами симметрии пространства и, вообще говоря, эти векторы не ортогональны (так что матрица не диагональна).

Как и в § 98, наряду с тройкой векторов введем тройку взаимных с ними векторов для которых

В трехмерном случае связь между теми и другими векторами может быть представлена в явном виде как

(116,5)

где

надо понимать как декартовы векторы с компонентами соответственно и определитель метрического тензора (116,3)

(116,6)

где — определитель матрицы

Инвариантность дифференциальных форм (116,1) означает, что

(116,7)

причем в обеих сторонах равенства — одни и те же функции соответственно от старых и новых координат.

Умножив это равенство на заменив и сравнив коэффициенты при одинаковых дифференциалах получим

Эти равенства представляют собой систему дифференциальных уравнений, определяющих функции по заданным реперным векторам. Для того чтобы быть интегрируемыми, уравнения (116,8) должны тождественно удовлетворять условиям

Вычислив производные, получим:

Умножив обе стороны равенства на и перенеся дифференцирования с одних множителей на другие с учетом (116,4), получим в левой стороне:

а в правой — такое же выражение как функцию от х. Поскольку а и х произвольны, то эти выражения должны сводиться к постоянным:

Постоянные называются структурными константами группы. Умножив на можно переписать (116,9) в виде

Это и есть искомые условия однородности пространства. Выражение в левой стороне равенства (116,9) совпадает с определением величин (98,10), которые, таким образом, оказываются постоянными.

По своему определению структурные константы антисимметричны по нижним индексам:

(116,4)

Еще одно условие для них можно получить, заметив, что равенство (116,10) эквивалентно правилу коммутации

(116,12)

для линейных дифференциальных операторов

(116,13)

Тогда упомянутое соотношение возникнет из тождества

(так называемое тождество Якоби) и имеет вид

(116,14)

Определенное преимущество перед трехиндексовыми константами представляют двухиндексовые величины, получающиеся путем дуального преобразования

(116,15)

где — единичный антисимметричный символ (причем Правила коммутации (116,12) с помощью таких констант запишутся в виде

(116,16)

Свойство (116,11) уже учтено в определении (116,15), а свойство (116,14) примет вид

(116,17)

Укажем также, что определение (116,9) для величин можно представить в векторном виде:

(116,18)

где снова векторные операции производятся так, как если бы координаты были декартовыми.

Выбор трех реперных векторов в дифференциальных формах (116,1) (а с ними и операторов ), разумеется, не однозначен. Они могут быть подвергнуты любому линейному преобразованию с постоянными коэффициентами:

(116,19)

По отношению к таким преобразованиям величины ведут себя как тензоры.

Условия (116,17) — единственные, которым должны удовлетворять структурные константы . Но среди допускаемых этими условиями наборов констант есть эквивалентные — в том смысле, что различие связано лишь с преобразованиями (116,19). Вопрос о классификации однородных пространств сводится к определению всех неэквивалентных наборов структурных констант. Это можно сделать, воспользовавшись «тензорными» свойствами величин следующим простым способом (С. G. Behr, 1962).

Несимметричный «тензор» можно разложить симметричную и антисимметричную части. Первую обозначим посредством а вторую выразим через дуальный ей «вектор»

(116,20)

Подстановка этого выражения в (116,17) приводит к условию

(116,21)

Преобразованиями (116,19) симметричный «тензор» может быть приведен к диагональному виду; пусть — его главные значения. Равенство (116,21) показывает, что «вектор» а (если он существует) лежит в одном из главных направлений «тензора» — в том, которое отвечает нулевому главному значению. Не уменьшая общности, можно поэтому положить ). Тогда (116,21) сводится к т. е. одна из величин а или должна быть нулем. Правила же коммутации (116,16) примут вид

(116,22)

После этого остается еще свобода в изменении знака операторов и в произвольных их масштабных преобразованиях (умножению на постоянные).

Это позволяет одновременно изменить знак всех , а также сделать величину а положительной (если она отлична от нуля). Можно также обратить все структурные константы в ±1, если по крайней мере одна из величин а, равна нулю. Если же все эти три величины отличны от нуля, то масштабные преобразования оставляют инвариантным отношение .

Таким образом, мы приходим к следующему перечислению возможных типов однородных пространств; в первом столбце таблицы римской цифрой указал номер, которым принято обозначать типы по классификации Бианки (L. Bianchi, 1918):

Тип I — евклидово пространство; все компоненты пространственного тензора кривизны (см. ниже формулу (116,24)) обращаются в нуль. Помимо тривиального случая галилеевой метрики, сюда относится зависящая от времени метрика, которая будет рассмотрена в следующем параграфе.

Тип IX содержит в себе как частный случай пространство постоянной положительной кривизны. Оно получается, если в элементе длины (116,2) положить , где — положительная постоянная. Действительно, вычисление по (116,24) с (структурные константы типа IX) дает и затем

что как раз и соответствует указанному пространству (ср. (111,3)).

Аналогичным образом пространство постоянной отрицательной кривизны содержится как частный случай в типе V. Действительно, положив и вычислив по (116,24) с , получим

что и отвечает постоянной отрицательной кривизне.

Наконец, покажем, каким образом уравнения Эйнштейна для мира с однородным пространством сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих только функции времени. Для этого пространственные компоненты 4-векторов и 4-тензоров надо разложить по тройке реперных векторов данного пространства:

причем все эти величины являются уже функциями только от функциями времени являются также и скалярные величины — плотность энергии и давление материи.

Уравнения Эйнштейна в синхронной системе выражаются, согласно через трехмерные тензоры . Для первого имеем просто

(точка означает дифференцирование по t). Компоненты же Раць) можно выразить через величины и структурные константы группы с помощью (98,14). После замены трехиндексовых на двухиндексовые и ряда преобразований получим:

(116,24)

Здесь, в соответствии с общим правилом,

Отметим также, что тождества Бианки для трехмерного тензора в однородном пространстве принимают вид

(116,25)

Окончательные выражения для реперных составляющих 4-тензора Риччи:

(116,26)

Подчеркнем, что для составления уравнений Эйнштейна нет, таким образом, необходимости в использовании явных выражений для реперных векторов как функций координат.