§ 41. Мультипольные моменты

В разложении потенциала по степеням

член пропорционален Мы видели, что первый член, определяется суммой всех зарядов; второй, называемый дипольным потенциалом системы, определяется ее дипольным моментом.

Третий член разложения равен

где сумма берется по всем зарядам; индекс, указывающий номер заряда, мы здесь опустили; — компоненты вектора , а — вектора Эта часть потенциала обычно называется квадрупольным потенциалом. Если сумма зарядов и дипольный момент системы равны нулю, то разложение начинается с

В выражение (41,2) входят шесть величин . Легко, однако, видеть, что в действительности поле зависит не от шести независимых величин, а только от пяти. Это следует из того, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа:

Мы можем поэтому написать в виде

Тензор

называется квадрупольным моментом системы. Из определения следует, что сумма его диагональных компонент равна нулю:

Симметричней тензор имеет поэтому всего пять независимых компонент. С его помощью можно написать:

или, произведя дифференцирование

и учитывая, что

Как и всякий симметричный трехмерный тензор, тензор может быть приведен к главным осям. При этом в силу условия (41,4) в общем случае лишь два из трех главных значений независимы. Если же система зарядов симметрична относительно некоторой оси (ось z), то она же является одной из главных осей тензора положение двух других осей в плоскости произвольно, и все три главных значения связаны между собой:

Обозначая компоненту как D (ее называют обычно в этом случае просто квадрупольным моментом), получим потенциал в виде

где — угол между и осью z, а — полином Лежандра.

Подобно тому как это было сделано в предыдущем параграфе для дипольного момента, легко убедиться в том, что квадрупольный момент системы не зависит от выбора начала координат, если равны нулю как полный заряд, так и дипольный момент системы.

Аналогичным образом можно было бы написать следующие члены разложения (41,1). l-й член разложения определяется тензором (так называемым тензором -польного момента) l-го ранга, симметричным по всем своим индексам и обращающимся в нуль при свертывании по любой паре индексов; можно показать, что такой тензор обладает независимыми компонентами

Мы напишем, однако, здесь общий член разложения потенциала в другом виде, использовав известную из теории сферических функций формулу

где — угол между и . Введем сферические углы , образуемые соответственно векторами с фиксированными осями координат, и воспользуемся известной теоремой сложения для сферических функций:

(41,10)

где — присоединенные полиномы Лежандра. Введем также сферические функции

Тогда разложение (41,9) примет вид

Произведя такое разложение в каждом члене суммы (40,1), получим окончательно следующее выражение для l-го члена разложения потенциала:

где

(41.13)

Совокупность величин составляет -польный момент системы зарядов.

Определенные таким образом величины связаны с компонентами вектора дипольного момента d формулами

(41,14)

Величины же связаны с компонентами тензора соотношениями

(41,15)

Задача

Определить квадрупольный момент однородно заряженного эллипсоида относительно его цеитра.

Решение. Заменяя суммирование в (41,3) интегрированием по объему эллипсоида, имеем:

Выбираем оси координат вдоль осей эллипсоида с началом а его центре; соображений симметрии очевидно, что эти же оси являются главными осями тензора Преобразованием интегрирование по объему эллипсоида

сводится к интегрированию по объему сферы радиуса 1

В результате получим:

где — полный заряд эллипсоида.