§ 12. Инвариантное сечение

Как известно, различные процессы рассеяния характеризуются их эффективными сечениями (или просто сечениями), определяющими числа столкновений, происходящих в пучках сталкивающихся частиц.

Пусть мы имеем два сталкивающихся пучка; обозначим через плотности частиц в них (т. е. числа частиц в единице объема), а через — скорости частиц. В системе отсчета, в которой частицы 2 покоятся (или, как говорят короче, в системе покоя частиц 2), мы имеем дело со столкновением пучка частиц 1 с неподвижной мишенью. При этом, согласно обычному определению сечения а, число столкновений, происходящих в объеме в течение времени равно

где - величина скорости частиц 1 в системе покоя частиц 2 (именно так определяется в релятивистской механике относительная скорость двух частиц).

Число по самому своему существу есть величина инвариантная. Поставим себе целью выразить ее в виде, пригодном в любой системе отсчета:

где А — подлежащая определению величина, о которой известно, что в системе покоя одной из частиц она равна При этом мы будем всегда понимать а именно как сечение в системе покоя одной из частиц, т. е., по определению, как величину инвариантную. По определению, инвариантной является и относительная СКОРОСТЬ Уотн.

В выражении (12,1) произведение есть величина инвариантная. Поэтому должно быть инвариантным и произведение .

Закон преобразования плотности частиц легко найти, заметив, что инвариантно число частиц в заданном элементе объема Написав (индекс 0 указывает систему покоя частиц) и воспользовавшись формулой (4,6) для преобразования объема, найдем:

или где — энергия, а — масса частиц.

Поэтому утверждение об инвариантности произведения эквивалентно инвариантности выражения . Более удобно представить это условие в виде

где в знаменателе стоит тоже инвариантная величина — произведение -импульсов обеих частиц.

В системе покоя частиц 2 имеем так что инвариантная величина (12,3) сводится к А. С другой стороны, в этой системе Таким образом, в произвольной системе отсчета

Для придания этому выражению окончательного вида, выразим Уотн через импульсы или скорости частиц в произвольной системе отсчета. Для этого замечаем, что в системе покоя частиц 2 инвариант

Отсюда

Выразив величину через скорости с помощью (9,1) и (9,4):

и подставив в (12,5), после простых преобразований получим следующее выражение для относительной скорости:

(обратим внимание на то, что это выражение симметрично по т. е. величина относительной скорости не зависит от того, по отношению к которой из частиц она определяется).

Подставив (12,5) или (12,6) в (12,4), а затем в (12,1), получим окончательные формулы, решающие поставленный вопрос:

или

Если скорости лежат вдоль одной прямой, то так что формула (12,8) принимает вид

Задача

Найти «элемент длины» в релятивистском «пространстве скоростей». Решение. Искомый «элемент длины» представляет собой относительную скорость двух точек со скоростями v и Поэтому из (12,6) находим:

где — полярный угол и азимут направления V. Если ввести вместо v новую переменную согласно равенству то элемент длины представится в виде

С геометрической точки зрения, это есть элемент длины в трехмерном пространстве Лобачевского — пространстве постоянной отрицательной кривизны