§ 72. Поле излучения на близких расстояниях

Формулы дипольного излучения были выведены нами для поля на расстояниях, больших по сравнению с длиной волны (и тем более по сравнению с размерами излучающей системы).

В этом параграфе мы будем по-прежнему считать, что длина волны велика по сравнению с размерами системы, но будем рассматривать поле на расстояниях, хотя и больших по сравнению с последними, но сравнимыми с длиной волны.

Формула (67,4) для векторного потенциала

по-прежнему остается в силе, так как для ее вывода было использовано лишь, что велико по сравнению с размерами системы. Однако поле нельзя рассматривать теперь, даже в небольших участках, как плоскую волну. Поэтому формулы (67,5) и (67,6) для электрического и магнитного полей уже неприменимы, и для их вычисления надо определить предварительно как А, так и <р.

Формулу для скалярного потенциала можно получить из выражения для А непосредственно с помощью общего условия (62,1)

наложенного на потенциалы. Подставляя в него (72,1) и интегрируя по времени, найдем:

Постоянную интегрирования (произвольную функцию координат) мы не пишем, так как нас интересует только переменная часть потенциала. Напомним, что в формуле (72,2), как и в (72,1), значение d должно браться в момент времени .

Теперь уже не представляет труда вычислить электрическое и магнитное поле. По обычным формулам, связывающим Е и Н с потенциалами, находим:

(72,4)

Выражение для Е можно переписать в другом виде, заметив, что как и всякая функция координат и времени вида

удовлетворяет волновому уравнению

Воспользовавшись также известной формулой

найдем, что

Полученные формулы определяют поле на расстояниях, сравнимых с длиной волны. Во всех этих формулах нельзя, разумеется, выносить из-под знака дифференцирования по координатам, так как отношение членов, содержащих членам с как раз порядка величины .

Наконец, напишем формулы для фурье - компонент поля. Для определения подставляем в формулу (72,3) вместо Н и d их монохроматические составляющие, т. е. соответственно . Надо, однако, помнить, что величины в правой стороне равенств (72,1-5) берутся в момент времени . Поэтому мы должны подставить для d выражение

Производя подстановку и сокращая на , найдем:

или, произведя дифференцирование,

где — единичный вектор в направлении .

Аналогичным образом из (72,4) найдем:

или, произведя дифференцирование,

На расстояниях, больших по сравнению с длиной волны , в формулах (72,6-7) можно пренебречь членами с и мы возвращаемся к полю «волновой зоны»;

На расстояниях же, малых по сравнению с длиной волны пренебрегаем членами с и полагаем тогда

что соответствует статическому дипольному электрическому полю (§ 40); магнитное поле в этом приближении, естественно, отсутствует.

Задачи

1. Определить потенциалы поля квадрупольного и магнитно-дипольного излучений на близких расстояниях.

Решение. Предполагая, для краткости, что дипольное излучение вообще отсутствует, имеем вычисления, произведенные в § 71):

где разложение подынтегрального выражения производится по степеням . В противоположность тому, что мы делали в § 71, множитель нельзя выносить теперь из-под знака дифференцирования. Выносим последний из-под знака интеграла и переписываем формулу в тензорных обозначениях:

( обозначают компоненты радиус-вектора ). Переходя от интеграла к сумме по зарядам, находим:

Тем же способом, что и в § 71, это выражение разделяется на квадрупольную и магнитно-дипольную части. Соответствующие скалярные потенциалы вычисляются по векторному потенциалу подобно тому, как это сделано в тексте. В результате получаем для квадрупольного излучения:

и для магнитно-дипольного излучения:

(все величины в правых сторонах равенства берутся, как обычно, в момент времени ).

Напряженности поля магнитно-дипольного излучения:

Сравнивая с (72,3), (72,5), мы видим, что Н и Е в магнитно-дипольном случае выражаются через m так же, как соответственно выражаются через d в электрическом дипольном случае.

Спектральные компоненты потенциалов квадрупольного излучения;

Выражения для поля мы не выписываем здесь ввиду их громоздкости,

2. Найти скорость потери момента импульса системой зарядов при довольном излучении ею электромагнитных волн.

Решение. Согласно (32,9) плотность потока момента электромагнитного поля дается пространственными компонентами 4-тензора . Переходя к трехмерным обозначениям, вводим трехмерный вектор момента

компонентами плотность его потока дается трехмерным тенэором

где — трехмерный максвелловский тензор напряжений (а все индексы пишем внизу соответственно трехмерным обозначениям). Полный момент, - теряемый системой в единицу времени, равен потоку момента пом излучения через сферическую поверхность радиуса

где — единичный вектор в направлении . С тензором из (33,3) получим:

Применяя эту формулу к полю излучения на больших расстояниях от системы, нельзя, однако, ограничиться членами в этом приближении , так что подынтегральное выражение обращается в нуль. Эти члены (даваемые (67,5-6)) достаточны лишь для вычисления множителей продольные же компоненты полей возникают от членов (в результате подынтегральное выражение в (1) становится и расстояние как и следовало, выпадает из ответа), В дипольном приближении длина волны а, и надо различать члены, содержащие (по сравнению с ) лишний множитель или достаточно оставить лишь первые. Именно эти члены можно получить из (72,3) и (72,5); вычисление с точностью до второго порядка по дает:

Подставив (2) и (67,6) в (1), получим:

Наконец, написав подынтегральное выражение в виде и усреднив по направлениям , найдем окончательно:

Отметим, что для линейного осциллятора с вещественной амплитудой выражение (3) обращается в нуль: потери момента при излучении не происходит,