§ 21. Движение в постоянном однородном магнитном поле

Рассмотрим теперь движение заряда в однородном магнитном поле Н. Направление поля выберем за ось . Уравнения движения

мы перепишем в другом виде, подставив вместо импульса

где — энергия частицы, которая в магнитном поле постоянна. Уравнения движения приобретают тогда вид

или, в компонентах,

где мы ввели обозначение

Умножим второе из уравнений (21,2) на i и сложим с первым:

откуда

где а — комплексная постоянная. Ее можно написать в виде где и а вещественны. Тогда

и, отделяя действительную и мнимую части, находим:

(21,4)

Постоянные и а определяются начальными условиями, а есть начальная фаза; что же касается то из (21,4) видно, что

есть скорость частицы в плоскости остающаяся при движении постоянной.

Из (21,4) находим, интегрируя еще раз:

где

— проекция импульса на плоскость . Из третьего уравнения (21,2) находим: и

Из (21,5) и (21,7) видно, что заряд движется в однородном магнитном поле по винтовой линии с осью вдоль магнитного поля и с радиусом , определяемым (21,6). Скорость частицы при этом постоянна по величине. В частном случае, когда т. е. заряд не имеет скорости вдоль поля, он движется по окружности в плоскости, перпендикулярной к полю.

Величина как видно из формул, есть циклическая частота вращения частицы в плоскости, перпендикулярной к полю.

Если скорость частицы мала, то мы можем приближенно положить Тогда частота превращается в

Предположим теперь, что магнитное поле, оставаясь однородным, медленно изменяется по величине и направлеиию. Выясним, как меняется при этом движение заряженной частицы.

Как известно, при медленном изменении условий движения остаются постоянными так называемые адиабатические инварианты. Поскольку движение в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю, периодично, то адиабатическим инвариантом является интеграл

взятый по полному периоду движения, в данном случае по окружности — проекция обобщенного импульса на указанную плоскость). Подставляя имеем:

В первом члене замечаем, что постоянно по абсолютной величине и направлено по ко второму применяем теорему Стокса и заменяем

где — радиус орбиты. Подставляя в это равенство выражение для r (21,6), находим:

Отсюда видно, что при медленном изменении Я поперечный импульс меняется пропорционально .

Этот результат можно применить и к другому случаю — когда частица движется по винтовой линии в постояном, но не вполне однородном магнитном поле (поле мало меняется на расстояниях, сравнимых с радиусом и шагом винтовой орбиты). Такое движение можно рассматривать как движение по круговой орбите, смещающейся с течением времени, а по отношению к этой орбите поле как бы меняется со временем, оставаясь однородным.

Тогда можно утверждать, что поперечная (по отношению к направлению поля) компонента импульса меняется по закону — где С — постоянная, а — заданная функция координат. С другой стороны, как и при движении во всяком постоянном магнитном поле, энергия частицы (а с нею и квадрат ее импульса ) остается постоянной. Поэтому продольная компонента импульса меняется по закону

(21,10)

Поскольку всегда должно быть то отсюда видно, что проникновение частицы в области достаточно сильного поля ) оказывается невозможным. При движении в направлении увеличивающегося поля радиус винтовой траектории убывает пропорционально (т. е. пропорционально ), а ее шаг — пропорционально При достижении границы, на которой обращается в нуль, частица отражается от нее: продолжая вращаться в прежнем направлении, она начинает двигаться против градиента поля.

Неоднородность поля приводит также и к другому явлению — медленному поперечному смещению (дрейфу) ведущего центра винтовой траектории частицы (так называют в этой связи центр круговой орбиты); этому вопросу посвящена задача 3 к следующему параграфу.

Задача

Определить частоты колебаний заряженного пространственного осдилля тора, находящегося в постоянном однородном магнитном поле; собственная частота колебаний осциллятора (при отсутствии поля) равна

Решение. Уравнения вынужденных колебаний осциллятора в магнитном поле (направленном вдоль оси ) имеют вид

Умножая второе уравнение на I и складывая с первым, получаема

где Отсюда находим, что частоты колебаний осциллятора в плоскости, перпендикулярной к полю, равны

Если поле Н мало, то эта формула переходит в

Колебания вдоль направления поля остаются неизменными.