§ 5. Преобразование скорости

Мы нашли в предыдущем параграфе формулы, позволяющие по координатам события в одной системе отсчета найти координаты того же события в другой системе отсчета. Теперь мы найдем формулы, связывающие скорость движущейся материальной частицы в одной системе отсчета со скоростью той же частицы в другой системе.

Пусть опять система К движется относительно системы К со скоростью V вдоль оси х. Пусть есть компонента скорости в системе, — компонента скорости той же частицы в системе К. Из (4,3) мы имеем:

Разделив первые три равенства на четвертое и введя скорости

находим:

Эти формулы и определяют преобразование скоростей. Они представляют собой закон сложения скоростей в теории относительности. В предельном случае они переходят в формулы классической механики .

В частном случае движения частицы параллельно оси имеем . Тогда , причем

Легко убедиться в том, что сумма двух скоростей, меньших или равных скорости света, есть снова скорость, не большая скорости света.

Для скоростей V, значительно меньших скорости света (скорость v может быть любой), имеем приближенно с точностью до членов порядка

Эти три формулы можно записать в виде одной векторной формулы

Обратим внимание на то, что в релятивистский закон сложения скоростей (5,1) две складываемые скорости v и V входят несимметричным образом (если только обе они не направлены вдоль оси ). Это обстоятельство естественным образом связано с упомянутой в предыдущем параграфе некоммутативностью преобразований Лоренца.

Выберем оси координат так, чтобы скорость частицы в данный момент лежала в плоскости Тогда скорость частицы в системе К имеет компоненты а в системе К имеем , — абсолютные величины и углы, образованные скоростью с осями соответственно в системах К и К). С помощью формул (5,1) находим тогда:

Эта формула определяет изменение направления скорости при переходе от одной системы отсчета к другой.

Рассмотрим подробнее важный частный случай этой формулы, а именно отклонение света при переходе к другой системе отсчета, — явление, называемое аберрацией света. В этом случае и предыдущая формула переходит в

Из тех же формул преобразования (5,1) легко получить аналогичную зависимость для :

В случае находим из (5,6) с точностью до членов порядка

Вводя угол (угол аберрации), находим с той же точностью:

т. е. известную элементарную формулу для аберрации света,