§ 58. Пределы геометрической оптики

По определению плоской монохроматической волны ее амплитуда везде и всегда одинакова. Такая волна бесконечна по всем направлениям в пространстве и существует на протяжении всего времени от до Всякая же волна с не везде и не всегда постоянной амплитудой может быть лишь более или менее монохроматической. Мы займемся теперь выяснением вопроса о степени немонохроматичности волн.

Рассмотрим электромагнитную волну с амплитудой, являющейся в каждой точке пространства функцией времени. Пусть есть некоторая средняя частота волны. Тогда поле волны (например электрическое) в данной точке имеет вид . Это поле, не являющееся, конечно, само монохроматическим, можно, однако, разложить на монохроматические компоненты, т. е. в интеграл Фурье.

Амплитуда компоненты этого разложения с частотой пропорциональна интегралу

Множитель является периодической функцией, среднее значение которой равно нулю. Если бы было вообще постоянным, то интеграл был бы в точности равен нулю при всех Если же переменно, но почти не меняется на протяжении промежутков времени порядка то интеграл почти равен нулю, тем точнее, чем медленнее меняется Для того чтобы интеграл был заметно отличен от нуля, необходимо, чтобы заметно менялось на протяжении промежутка времени порядка

Обозначим посредством порядок величины промежутка времени, в течение которого амплитуда волны в данной точке пространства заметно меняется. Из приведенных соображений следует теперь, что наиболее отличающиеся от частоты, входящие в спектральное разложение этой волны с заметными интенсивностями, определяются из условия Если обозначить посредством интервал частот (вокруг средней частоты ) в спектральном разложении, то, следовательно, имеет место соотношение

Мы видим, что действительно волна тем более монохроматична (т. е. тем меньше), чем больше т. е. чем медленнее меняется в каждой точке пространства ее амплитуда.

Соотношения, аналогичные (58,1), легко вывести и для волнового вектора. Пусть — порядки величин расстояний едоль осей , на которых заметно меняется амплитуда волны. В данный момент времени поле волны как функция от координат имеет вид

где — некоторое среднее значение волнового вектора. Совершенно аналогично выводу (58,1) можно найти интервал значений, имеющихся в разложении рассматриваемой волны в интеграл Фурье:

Рассмотрим, в частности, волну, излучавшуюся в течение некоторого конечного интервала времени. Обозначим посредством порядок величины этого интервала. Амплитуда в данной точке пространства во всяком случае заметно изменяется за время в течение которого волна успеет целиком пройти через эту точку.

На основании соотношения (58,1) мы можем теперь сказать, что «степень немонохроматичности» такой волны во всяком случае не может быть меньше, чем (но может, конечно, быть и больше):

Аналогично, если — порядки величины размеров волны в пространстве, то для интервалов значений компонент волнового вектора, входящих в разложение волны, находим:

Из этих формул следует, что если мы имеем пучок света конечной ширины, то направление распространения света в таком пучке не может быть строго постоянным. Направляя ось по направлению (среднему) света в пучке, мы получаем:

где — порядок величины отклонения пучка от среднего направления в плоскости , а — длина волны.

С другой стороны, формула (58,5) дает ответ на вопрос о предельной резкости оптических изображений. Пучок света, все лучи которого согласно геометрической оптике должны были бы пересечься в одной точке, в действительности дает изображение не в виде точки, а в виде некоторого пятна. Для ширины А этого пятна имеем согласно (58,5)

где — угол раствора пучка. Эту формулу можно применить не только к изображению, но и к предмету. Именно, можно утверждать, что при наблюдении исходящего из светящейся точки пучка света эту точку нельзя отличить от тела размера . Соответственно этому формула (58,6) определяет предельную разрешающую силу микроскопа. Минимальное значение Д, достигающееся при есть , в полном согласии с тем, что пределы геометрической оптики определяются длиной волны света.

Задача

Найти порядок величины наименьшей ширины светового пучка, получающегося от параллельного пучка света на расстоянии l от диафрагмы.

Решение. Обозначив размер отверстия диафрагмы через d, имеем из (58,5) для угла отклонения лучей («угла дифракции») значение , откуда ширина пучка порядка . Наименьшее значение этой величины .