ГЛАВА XIII. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

§ 107. Слабые гравитационные волны

Конечность скорости распространения взаимодействий приводит в релятивистской теории тяготения, как и в электродинамике, к возможности существования не связанного с телами свободного гравитационного поля — гравитационных волн.

Рассмотрим слабое свободное гравитационное поле в пустоте. Как и в § 105, введем тензор , описывающий слабое возмущение галилеевой метрики:

(107,1)

При этом с точностью до величин первого порядка по контравариантный метрический тензор:

(107,2)

а определитель тензора .

(107,3)

где все операции поднимания и опускания тензорных индексов производятся по невозмущенной метрике .

Как было уже указано в § 105, условие малости оставляет возможность произвольных преобразований системы отсчета вида с малыми ; при этом

Воспользовавшись этим произволом в калибровке (как говорят в этой связи) тензора , налагаем на него дополнительное условие

(107,5)

после чего тензор Риччи принимает простой вид (105,11):

(107,6)

где обозначает оператор д'Аламбера:

Условия (107,5) все еще не фиксируют однозначного выбора системы отсчета: если некоторые удовлетворяют этим условиям, то им же будут удовлетворять и (107,4), если только являются решениями уравнения

(107,7)

Приравняв выражение (107,6) нулю, найдем, таким образом, уравнения гравитационного поля в пустоте в виде

(107,8)

Это — обычное волновое уравнение. Следовательно, гравитационные поля, как и электромагнитные, распространяются в пустоте со скоростью света.

Рассмотрим плоскую гравитационную волну. В такой волне поле меняется только вдоль одного направления в пространстве; в качестве этого направления выберем ось . Уравнения (107,8) тогда превращаются в

(107.9)

решением которых является любая функция от (§ 47).

Пусть волна распространяется в положительном направлении оси х. Все величины в ней являются функциями от Дополнительные условия (107,5) дают в этом случае , где точка над буквой означает дифференцирование по t. Эти равенства можно проинтегрировать, просто вычеркнув знак дифференцирования; постоянные интегрирования можно положить равными нулю, так как мы интересуемся здесь (как и в случае электромагнитных волн) только переменной частью поля. Таким образом, между отдельными компонентами имеются соотношения:

(107,10)

Как было указано, условия (107,5) еще не определяют однозначно системы отсчета; мы можем подвергнуть координаты преобразованию вида . Этим преобразованием можно воспользоваться для того, чтобы обратить в нуль четыре величины: . Из равенств (107,10), следует, что при этом обратятся в нуль также и компоненты Что же касается остающихся величин то их нельзя обратить в нуль никаким выбором системы отсчета, поскольку при преобразовании (107,4) с эти компоненты вообще не меняются. Заметим, что обращается в нуль и а потому .

Таким образом, плоская гравитационная волна определяется двумя величинами: .

Другими словами, гравитационные волны являются поперечными волнами, поляризация которых определяется симметричным тензором 2-го ранга в плоскости и сумма диагональных членов которого равна нулю. В качестве двух независимых поляризаций можно выбрать случаи, в которых отлична от нуля одна из двух величин . Такие две поляризации отличаются друг от друга поворотом на угол в плоскости .

Вычислим псевдотензор энергии-импульса в плоской гравитационной волне. Компоненты — величины второго порядка малости; мы должны вычислить их, пренебрегая членами еще более высокого порядка. Поскольку при h = 0 определитель g отличается от лишь величинами второго порядка, то в общей формуле (96,9) можно положить да Для плоской волны все отличные от нуля члены в заключены в члене

в фигурных скобках в (96,9) (в этом легко убедиться, выбрав одну из осей галилеевой системы отсчета в направлении распространения волны). Таким образом,

Поток энергии в волне определяется величинами — . В плоской волне, распространяющейся вдоль оси в которой отличные от нуля зависят только от разности этот поток направлен вдоль той же оси и равен

Начальные условия для произвольного поля гравитационных волн должны задаваться четырьмя произвольными функциями координат: в силу поперечности волн имеется всего две независимые компоненты вместе с которыми должны быть заданы также и их первые производные по времени. Хотя этот подсчет мы произвели здесь исходя из свойств слабого гравитационного поля, но ясно, что его результат — число 4 — не может быть связан с этим предположением и относится к любому свободному, т. е. не связанному с гравитирующими массами, гравитационному полю.

Задача

Определить тензор кривизны в слабой плоской гравитационной волне.

Решение. Вычисляя по формуле (105,8), найдем следующие отличные от нуля компоненты:

где обозначено:

В терминах введенных в (92,15) трехмерных тензоров имеем:

Надлежащим поворотом осей можно обратить (в заданной точке 4-пространства) одну из величин или в нуль; обратив в нуль величину а, приведем тензор кривизны к вырожденному типу Петрова II (тип N),