§ 31. Плотность и поток анергии

Умножим обе части уравнения (30,3) на Е, а обе части уравнения (26,1) на Н и сложим полученные уравнения почленно:

Пользуясь известной формулой векторного анализа

переписываем это соотношение в виде

или

Вектор

называют вектором Пойнтинга.

Проинтегрируем (31,1) по некоторому объему и применим ко второму члену справа теорему Гаусса. Мы получим тогда:

Если интегрирование производится по всему пространству, то интеграл по поверхности исчезает (поле на бесконечности равно нулю). Далее, мы можем написать интеграл в виде суммы по всем зарядам, находящимся в поле, и подставить согласно (17,7)

Тогда (31,3) переходит в

Таким образом, для замкнутой системы, состоящей из электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, сохраняется величина, стоящая в написанном уравнении в скобках. Второй член в этом выражении есть кинетическая энергия (вместе с энергией покоя всех частиц; см. примечание на стр. 73); первый же член есть, следовательно, энергия самого электромагнитного поля. Величину

мы можем поэтому назвать плотностью энергии электромагнитного поля; это есть энергия единицы объема поля.

При интегрировании по некоторому конечному объему поверхностный интеграл в (31,3), вообще говоря, не исчезает, так что мы можем написать это уравнение в виде

где теперь во втором члене в скобках суммирование производится только по частицам, находящимся в рассматриваемом объеме. Слева стоит изменение полной энергии поля и частиц в единицу времени. Поэтому интеграл надо рассматривать как поток энергии поля через поверхность, ограничивающую данный объем, так что вектор Пойнтинга S есть плотность этого потока — количество энергий поля, протекающее в единицу времени через единицу поверхности.