ГЛАВА VIII. ПОЛЕ ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯДОВ

§ 62. Запаздывающие потенциалы

В гл. V мы изучали постоянное поле, создаваемое покоящимися зарядами, а в гл. VI — переменное поле, но в отсутствие зарядов. Теперь мы займемся изучением переменных полей при наличии произвольно движущихся зарядов.

Выведем уравнения, определяющие потенциалы поля, создаваемого движущимися зарядами. Это удобно сделать в четырехмерном виде, повторив произведенный в конце § 46 вывод с той лишь разницей, что надо использовать уравнения Максвелла (30,2)

с отличной от нуля правой частью. Такая же правая часть появится и в уравнении (46,8), и после наложения на потенциалы условия Лоренца

получим

Это и есть уравнение, определяющее потенциалы произвольного электромагнитного поля. В трехмерном виде оно записывается в виде двух уравнений — для А и для :

Для постоянного поля они сводятся к уже известным нам уравнениям (36,4) и (43,4), а для переменного поля без зарядов к однородным волновым уравнениям.

Решение неоднородных линейных уравнений (62,3-4) может быть представлено, как известно, в виде суммы решения этих же уравнений без правой части и частного интеграла уравнений с правой частью.

Для нахождения этого частного интеграла разделим все пространство на бесконечно малые участки и определим поле, создаваемое зарядом, находящимся в одном из таких элементов объема. Вследствие линейности уравнений истинное поле будет равно сумме полей, создаваемых всеми такими элементами.

Заряд в заданном элементе объема является, вообще говоря, функцией от времени. Если выбрать начало координат в рассматриваемом элементе объема, то плотность заряда где R — расстояние от начала координат. Таким образом, нам надо решить уравнение

Везде, кроме начала координат, и мы имеем уравнение

(62,6)

Очевидно, что в рассматриваемом случае обладает центральной симметрией, т. е. есть функция только от R. Поэтому, если написать оператор Лапласа в сферических координатах, то (62,6) приобретет вид

Для решения этого уравнения сделаем подстановку Тогда для х мы получим:

Но это есть уравнение плоских волн, решение которого имеет вид (см. § 47):

Поскольку мы ищем только частный интеграл уравнения, то достаточно взять только одну из функций и Обычно бывает удобным выбирать (см. об этом ниже). Тогда потенциал везде, кроме начала координат, имеет вид

Функция в этом равенстве пока произвольна; выберем ее теперь так, чтобы получить верное значение для потенциала также и в начале координат. Иначе говоря, мы должны подобрать так, чтобы в начале координат удовлетворялось уравнение (62,5),

Это легко сделать, заметив, что при сам потенциал стремится к бесконечности, а потому его производные по координатам растут быстрее, чем производные по времени. Следовательно, при в уравнении (62,5) можно пренебречь членом по сравнению с . Тогда оно переходит в известное уже нам уравнение (36,9), приводящее к закону Кулона. Таким образом, вблизи начала координат формула (62,7) должна переходить в закон Кулона, откуда следует, что , т. е.

Отсюда легко перейти к решению уравнения (62,4) для произвольного распределения зарядов . Для этого достаточно написать — элемент объема) и проинтегрировать по всему пространству. К полученному таким образом решению неоднородного уравнения (62,4) можно прибавить еще решение этого же уравнения без правой части. Таким образом, общее решение имеет вид

где ; R есть расстояние от элемента объема до «точки наблюдения», в которой мы ищем значение потенциала. Мы будем писать это выражение коротко в виде

где индекс показывает, что значение надо брать в момент времени а штрих у dV опущен.

Аналогичным образом имеем для векторного потенциала:

где — решение уравнения (62,3) без правой части.

Выражения (62,9-10) (без ) называются запаздывающими потенциалами.

В случае неподвижных зарядов (т. е. не зависящей от времени плотности ) формула (62,9) переходит в известную уже нам формулу (36,8) для потенциала электростатического поля; формула же (62,10) в случае стационарного движения зарядов переходит (после усреднения) в формулу (43,5) для векторного потенциала постоянного магнитного поля.

Величины в (62,9-10) определяются так, чтобы удовлетворить условиям задачи.

Для этого, очевидно, было бы достаточно задать начальные условия, т. е. поле в начальный момент времени. Однако с такими начальными условиями обычно не приходится иметь дела. Вместо этого задаются условия на больших расстояниях от системы зарядов в течение всего времени. Именно, задается падающее на систему внешнее излучение. Соответственно этому поле, возникающее в результате взаимодействия этого излучения с системой, может отличаться от внешнего поля только излучением, исходящим от системы. Такое исходящее от системы излучение на больших расстояниях должно иметь вид волны, распространяющейся по направлению от системы, т. е. в направлении возрастающих R. Но этому условию удовлетворяют именно запаздывающие потенциалы. Таким образом, последние представляют собой поле, исходящее от системы, а надо отождествить с внешним полем, действующим на систему.