§ 118. Колебательный режим приближения к особой точке

На примере модели мира с однородным пространством типа IX изучим особенность метрики по времени, имеющую колебательный характер (В. А. Белинский, Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников, 1968). Мы увидим в следующем параграфе, что такой характер имеет весьма общее значение.

Нас будет интересовать поведение модели вблизи особой точки (которую выберем в качестве начала отсчета времени, t = 0). Как и в рассмотренном в § 117 решении Казнера, наличие материи не отражается на качественных свойствах этого поведения, и для упрощения исследования будем предполагать пространство пустым.

Положим в (116,3) матрицу величин диагональной, обозначив ее диагональные элементы через три реперных вектора обозначим теперь посредством . Тогда пространственная метрика запишется в виде

(118,1)

Для пространства тала IX структурные константы

Из (116,26) видно, что для таких констант и диагональной матрице компоненты тензора Риччи в синхршиой системе отсчета обращаются в нуль тождественно. Согласно (116,24) обращаются в нуль также и недиагональные компоненты Остальные компоненты уравнений Эйнштейна дают для функций систему уравнений;

((118,3) — уравнения , (118,4) — уравнение ).

Производные по временя в системе (118,3-4) принимают более простой вид, если ввести вместо функций с их логарифмы

(118,5)

а вместо t — переменную согласно

(118,6)

Тогда

(118,7)

где индекс, означает дифференцирование по .

Сложив почленно уравнения (118,7) в заменив в левой стороне сумму вторых производных согласно (118,8), получим.:

(118,9)

Это соотношение содержит только первые цроизводные и представляет собой первый интеграл уравнений (118,7).

Уравнения (118,3-4) не могут быть решены точно в аналитическом виде, но вблизи особой точки допускают детальное качественное исследование.

Прежде всего замечаем, что в отсутствие правых частей, в уравнениях (118,3) (иди, что то же, в уравнениях (118,7)) система имела бы точное решение, в котором

(118,10)

где — числа, связанные соотношениями

(118,11)

(аналог решения Казнера (117,8) для однородного плоского пространства).

Рис. 25

Мы обозначили здесь показатели степеней как не предопределяя их последовательности в порядке возрастания; обозначение же из § 117 сохраним за тройками чисел, расположенных в порядке в соответственно пробегающими значения в интервалах (117,10). Эти числа могут быть представлены в параметрическом виде как

(118,12)

Все различные значения (с соблюдением условного порядка) получаются, если параметр и пробегает значения в области и 1. Значения же приводятся к той же области согласно

На рис. 25 изображены графики в зависимости от .

Предположим, что а некотором интервале времени правые части в уравнениях (118,7) действительно малы, так что ими можно пренебречь и имеет место казнеровский режим (118,10).

Такая ситуация не может продолжаться (при ) неограниченно, так как среди указанных членов всегда имеются возрастающие. Так, если отрицательный показатель степени относится к функции , то возмущение кавнеровского режима возникает от членов ; остальные же члены при уменьшении t будут убывать.

Сохранив в правых частях (118,7) лишь эти члены, получим систему уравнений

Решение этих уравнений должно описывать эволюцию метрики из «начального» состояния, в котором оно описывается формулами (118,10) с определенным набором показателей (причем пусть , так что

(коэффициенты пропорциональности в этих выражениях можно положить равными 1 без ограничения общности получаемого ниже результата). При этом , поэтому начальные условия для уравнений (118,14) формулируются в виде

Первое из уравнений (118.14) имеет вид уравнения одномерного движения частицы в поле экспоненциальной потенциальной стенки, причем а играет роль координаты. В этой аналогии начальному казнеровскому режиму соответствует свободное движение с постоянной скоростью . Отразившись от стенки, частица будет снова двигаться свободно со скоростью обратного знака: . Заметив также, что в силу всех трех уравнений (118,14)

найдем, что приобретут значения . Определив отсюда и затем t согласно (118,6), получим:

т. е. , где

Таким образом, воздействие возмущения приводит к смене одной «казнеровской эпохи» другой, причем отрицательная степень t перебрасывается с направления 1 на направление : если было , то теперь . В процессе смены функция проходит через максимум, a - через минимум: убывавшая прежде величина начинает возрастать, возраставшая — падать, а функция продолжает убывать. Само возмущение (члены в уравнениях (118,7)), прежде возраставшее, начинает убывать и затухает. Дальнейшая эволюция метрики приведет аналогичным образом к возрастанию возмущения, выражающегося членами в уравнениях (118,7), следующей смене кавнеровских показателей, и т. д.

Правило смены показателей (118,15) удобно представить с помощью параметризации (118,12): если

то

(118,16)

Остается положительным больший из двух положительных показателей.

В этом процессе смен казнеровских эпох лежит ключ к пониманию характера эволюции метрики при приближении к особой точке.

Последовательные смены (118,16) с перебросом отрицательного показателя степени между направлениями продолжаются до тех пор, пока не исчерпается целая часть начального значения и и не станет и . Значение и преобразуется в согласно (118,13); в этот момент отрицателен показатель или становится Меньшим из двух положительных чисел Следующая серия смен будет уже перебрасывать отрицательный показатель между направлениями или между . При произвольном (иррациональном) начальном значении и процесс смен продолжается неограниченно.

При точном решении уравнений показатели тёряют, конечно, свой буквальный смысл. Отметим, что вносимая этим обстоятельством некоторая «размытость» в определении этих чисел (а с ними и параметра ), хотя она и мала, лишает смысла рассмотрение как-либо выделенных (например, рациональных) значений и. Именно поэтому реальным смыслом обладают лишь те закономерности, которые свойственны общему случаю произвольных иррациональных значений и.

Таким образом, процесс эволюции модели в направлении к особой точке складывается из последовательных серий колебаний, в течение каждой из которых расстояния вдоль двух пространственных осей осциллируют, а вдоль третьей — монотонно убывают; объем убывает по закону, близкому к при переходе от одной серии к следующей направление, вдоль которого происходит монотонное убывание расстояний, переходит с одной оси на другую.

Порядок этих переходов приобретает асимптотически характер случайного процесса. Такой же характер приобретает и порядок чередования длин последовательных серий колебаний (т. е. чисел сменяющихся в каждой серии «казнеровских эпох»).

Последовательные серии колебаний сгущаются по мере приближения к особой точке. Между любым конечным моментом мирового времени t и моментом заключено бесконечное множество колебаний. Естественной переменной для описания временного хода этой эволюции оказывается не само время t, а его логарифм, по которому весь процесс приближения к особой точке растянут до .

В изложенном решении мы с самого начала несколько упростили задачу, предположив матрицу в (116,3) диагональной. Включение в метрику недиагональных компонент не меняет описанного колебательного характера эволюции метрики и закона (118,16) смен показателей чередующихся казнеровских эпох. Оно приводит, однако, к появлению дополнительного свойства: смена иоказателей сопровождается также и изменением направлений осей, к которым эти показатели относятся.