§ 32. Тензор энергии-импульса

В предыдущем параграфе мы вывели выражение для энергии электромагнитного поля. Выведем это выражение, вместе с выражением для импульса поля, в четырехмерной форме. При этом мы будем для простоты рассматривать пока электромагнитное поле без зарядов. Имея в виду дальнейшее применение (к гравитационным полям), а также упрощение выкладок, мы проделаем вывод в общем виде, не конкретизируя род системы.

Рассмотрим некоторую систему, интеграл действия для которой имеет вид

где — некоторая функция от величин q, определяющих состояние системы и их производных по координатам и времени (для электромагнитного поля величинами q являются компоненты 4-потенциала); для краткости мы пишем здесь всего одну такую величину q. Заметим, что интеграл по пространству есть функция Лагранжа системы, так что А можно рассматривать как «плотность» функции Лагранжа. Математическим выражением замкнутости системы является отсутствие явной зависимости А от подобно тому, как функция Лагранжа для замкнутой механической системы не зависит явно от времени.

«Уравнения движения» (т. е. уравнения поля, если речь идет о каком-либо поле) получаются согласно принципу наименьшего действия путем варьирования S. Имеем (для краткости обозначаем ):

Второй член под интегралом, будучи преобразован по теореме Гаусса, исчезает при интегрировании по всему пространству, и мы находим тогда следующие «уравнения движения»:

(везде, конечно, подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся индексу ).

Дальнейший вывод аналогичен тому, который производится в механике для вывода закона сохранения энергии. Именно, пишем:

Подставляя сюда (32,2) и замечая, что , находим:

Заменив в левой стороне равенства

и введя обозначение

напишем полученное соотношение в виде

Если имеется не одна, а несколько величин то вместо (32,3) надо, очевидно, писать:

Мы видели в § 29, что уравнение вида т. е. равенство нулю -дивергенции вектора, эквивалентно утверждению, что сохраняется интеграл от этого вектора по гиперповерхности, заключающей в себе все трёхмерное пространство. Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для тензора: уравнение (32,4) эквивалентно утверждению, что Сохраняется вектор

Этот вектор и должен быть отождествлен с -импульсом системы. Постоянный множитель перед интегралом мы выберем так, чтобы временная компонента в соответствии с прежним определением была равна энергии системы, деленной на с. Для этого замечаем, что

интегрирование производится по гиперплоскости другой стороны, согласно (32,3) имеем:

(где ).

В соответствии с обычной формулой, связывающей энергию с функцией Лагранжа, эту величину надо рассматривать как плотность энергии, и поэтому есть полная энергия системы. Таким образом, надо положить и мы получаем окончательно для 4-импульса системы выражение

Тензор называется тензором энергии-импульса системы.

Необходимо заметить, что определение тензора по существу не однозначно. Действительно, если — тензор, определенный согласно (32,3), то и всякий другой тензор вида

удовлетворяет уравнению сохранения (32,4), так как тождественно ввиду антисимметричности тензора по индексам k, l. Полный 4-импульс системы при этом вообще не изменится, так как согласно (6,17) имеем:

где интегрирование с правой стороны равенства производится по поверхности (обычной), «охватывающей» гиперповерхность, по которой производится интегрирование с левой стороны равенства. Эта поверхность находится, очевидно, на бесконечности трехмерного пространства, и, поскольку поле или частицы на бесконечности отсутствуют, интеграл равен нулю. Таким образом, 4-импульс системы является, как и следовало, однозначно определенной величиной.

Для однозначного же определения тензора можно воспользоваться требованием, чтобы 4-тензор момента имнуяьеа (§ 14) выражался через 4-импульс посредством

т. е. так, чтобы его плотность выражалась через плотность импульса обычной формулой.

Легко найти, какому условию должен для этого удовлетворять тензор энергии-импульса. Закон сохранения момента может быть выражен, как мы уже знаем, равенством нулю дивергенции подынтегрального выражения в Таким образом,

Замечая, что , находим:

или

(32,10)

т. е. тензор энергии-импульса должен быть симметричен.

Заметим, что тензор определенный формулой (32,5), вообще говоря, не симметричен, но может быть сделан таковым заменой (32,7) с надлежащим образом выбранным В дальнейшем (§ 94) мы увидим, что существует способ непосредственного получения симметричного тензора .

Как уже упоминалось выше, если производить интегрирование в (32,6) по гиперплоскости , то приобретает вид

(32,11)

где интегрирование производится по всему пространству (трехмерному). Пространственные компоненты образуют трехмерный вектор импульса системы, а временная компонента есть деленная на с ее энергия. Поэтому вектор с составляющими

можно назвать плотностью импульса, а величину

можно рассматривать как плотность энергии.

Для выяснения смысла остальных компонент напишем уравнения сохранения (32,4), отделив в них пространственные и временные производные:

(32,12)

Проинтегрируем эти уравнения по некоторому объему пространства V. Из первого имеем:

или, преобразуя второй интеграл по (трехмерной) теореме Гаусса,

(32,13)

где интеграл справа берется по поверхности, охватывающей объем — компоненты трехмерного вектора элемента поверхности . В левой стороне равенства (32,13) стоит скорость изменения энергии, находящейся в объеме V.

Отсюда видно, что выражение справа есть количество энергии, протекающий через границу этого объема, а вектор S с составляющими

есть плотность этого потока — количество энергии, протекающей в единицу времени через единицу поверхности. Таким образом, мы приходим к важному выводу о том, что требования релятивистской инвариантности, заключенные в тензорном характере величин автоматически приводят к определенной связи между потоком энергии и импульсом: плотность потока энергии равна плотности импульса, умноженной на .

Из второго уравнения (32,12) аналогичным путем находим:

(32,14)

Слева стоит изменение импульса системы в объеме V в единицу времени; поэтому есть количество импульса, вытекающее в единицу времени из этого объема. Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса составляют трехмерный тензор плотности потока импульса; обозначим его через где — так называемый тензор напряжений. Плотность потока энергии есть вектор; плотность же потока импульса, который сам по себе есть вектор, должна, очевидно, быть тензором (компонента этого тензора есть количество компоненты импульса, протекающее в единицу времени через единицу поверхности, перпендикулярную к оси ).

Выпишем еще раз таблицу, указывающую смысл различных компонент тензора энергии-импульса: