ГЛАВА XII. ПОЛЕ ТЯГОТЕЮЩИХ ТЕЛ

§ 99. Закон Ньютона

Произведем в уравнениях Эйнштейна предельный переход к нерелятивистской механике. Как было указано в § 87, предположение о малости скоростей всех частиц требует одновременно, чтобы само гравитационное поле было слабым.

Выражение для компоненты метрического тензора (единственной, которая нам понадобится) в рассматриваемом предельном случае было найдено в § 87:

Далее, для компонент тензора энергии-импульса мы можем воспользоваться выражением (35,4) , где — плотность массы тела сумма масс покоя частиц в единице объема; индекс О у для краткости опускаем). Что касается 4-скорости , то поскольку макроскопическое движение тоже, конечно, считается медленным, то мы должны пренебречь всеми ее пространственными компонентами, оставив только временную, т. е. должны положить . Из всех компонент остается, таким образом, только

Скаляр будет равен той же величине .

Уравнения Эйнштейна напишем в форме (95,8) :

при

При вычислении по общей формуле (92,7) замечаем, что члены, содержащие произведения величин во всяком случае являются величинами второго порядка малости. Члены же, содержащие производные по являются малыми (по сравнению с членами с производными по координатам ), как содержащие лишние степени от

В результате остается . Подставляя

находим:

Таким образом, уравнения Эйнштейна дают:

Это и есть уравнение гравитационного поля в нерелятивистской механике. По своей форме оно полностью аналогично уравнению Пуассона (36,4) для электрического потенциала, в котором теперь вместо плотности заряда стоит плотность массы, умноженная на . Поэтому мы можем сразу написать общее решение уравнения (99,2) по аналогии с (36,8) в виде

Эта формула определяет в нерелятивистском приближении потенциал гравитационного поля любого распределения масс.

В частности, для потенциала поля одной частицы с массой имеем:

и, следовательно, сила , действующая в этом поле на другую частицу (массы ), равна

Это — известный закон тяготения Ньютона.

Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле равна ее массе, умноженной на потенциал поля, аналогично тому, что потенциальная энергия в электрическом поле равна произведению заряда на потенциал этого поля. Поэтому мы можем написать по аналогии с (37,1) для потенциальной энергии любого распределения масс выражение

Для ньютоновского потенциала постоянного гравитационного поля вдали от создающих его масс можно написать разложение, аналогичное тому, которое было получено в §§ 40—41 для электростатического поля.

Выберем начало координат в центре инерции масс. Тогда интеграл , аналогичный дипольному моменту системы зарядов, тождественно обратится в нуль. Таким образом, в отличие от электрического поля, в гравитационном поле всегда можно исключить «дипольный член». Разложение потенциала имеет, следовательно, вид

где — полная масса системы, а величины

можно назвать тензором квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции

очевидными соотношениями

Определение ньютоновского потенциала по заданному распределению масс составляет предмет одного из разделов математической физики; изложение соответствующих методов не входит в задачу этой книги. Мы приведем здесь для справочных целей лишь формулы для потенциала гравитационного поля, создаваемого однородным эллипсоидальным телом.

Пусть поверхность эллипсоида задается уравнением

(99,10)

Тогда потенциал поля в произвольной точке х, у, z вне тела дается следующей формулой:

(99,11) , где — положительный корень уравнения

Потенциал поля внутри эллипсоида определяется формулой

(99,13)

отличающейся от (99,11) заменой нижнего предела нулем; отметим, что это выражение является квадратичной функцией координат х, у, z.

Гравитационная энергия тела получается, согласно (99,6), интегрированием выражения (99,13) по объему эллипсоида. Оно производится элементарно и дает:

( — полная масса тела); интегрируя первый член по частям, окончательно получим:

Все интегралы, входящие в формулы (99,11-14), приводятся к эллиптическим интегралам первого и второго рода. Для эллипсоидов вращения эти интегралы выражаются через элементарные функции. В частности, гравитационная энергия сплюснутого эллипсоида вращения ()

а для вытянутого эллипсоида вращения

(99,16)

Для шара () обе формулы дают значение , которое, разумеется, можно получить и элементарным путем.

Задача

Определить равновесную форму равномерно вращающейся как целое однородной гравитирующей массы жидкости.

Решение. Условие равновесия заключается в условии постоянства вдоль поверхности тела суммы гравитационного потенциала и потенциала центробежных сил:

(П — угловая скорость вращения; ось вращения — ось ). Искомая форма редставляет собой сплюснутый эллипсоид вращения, Для определения его параметров подставляем (99,13) в условие равновесия и исключаем с помощью уравнения (99,10); это дает:

Ъткуда следует, что выражение в квадратных скобках должно обращаться в нуль. Произведя интегрирование, получим в результате уравнение:

( — момент импульса тела относительно оси ), определяющее отношение полуосей по заданному или М. Зависимость отношения от М — однозначная; монотонно убывает с увеличением М.

Оказывается, однако, что найденная симметричная форма устойчива (по отношению к малым возмущениям) лишь при не слишком больших значениях М. Именно, она теряет устойчивость при (причем При дальнейшем увеличении М равновесной становится форма Трехосного эллипсоида с постепенно убывающими (соответственно от 1 и от 0,58) значениями Эта форма в свою очередь становится неустойчивой при (причем )