§ 114. Красное смещение

Основной характерной чертой всех рассмотренных решений является нестационарность метрики: радиус кривизны пространства является функцией времени. Изменение же радиуса кривизны приводит к изменению всех вообще расстояний между телами в пространстве, как это видно уже из того обстоятельства, что элемент пространственного расстояния пропорционален а. Так, при увеличении а в таком пространстве тела «разбегаются» друг от друга (в открытой модели увеличению а соответствуют , а в закрытой .

С точки зрения наблюдателя, находящегося на одном из них, дело будет выглядеть так, как если бы остальные тела двигались в радиальных направлениях, удаляясь от наблюдателя. Скорость этого «разбегания» (в данный момент t) сама пропорциональна расстоянию между телами.

Это предсказание теории следует поставить в соответствие с фундаментальным астрономическим фактом — эффектом красного смещения линий в спектрах галактик. Истолковав это смещение как доплеровское, мы приходим к заключению о «разбегании» галактик, т. е. о том, что в настоящее время Вселенная расширяется.

Рассмотрим распространение лучей света в изотропном пространстве. Для этого проще всего воспользоваться тем, что вдоль мировой линии распространения светового сигнала интервал . Точку, из которой выходит луч света, выберем в качестве начала координат <р. Из соображений симметрии очевидно, что лучи будут распространяться «радиально», т. е. вдоль линии . Полагая соответственно этому в (112,4) или (113,2) , получим .

Приравнивая нулю, находим или, интегрируя:

(114,1)

Знак плюс перед соответствует лучу, распространяющемуся по направлению от начала координат, а знак минус — лучу, проходящему в начало координат. В таком виде уравнение (114,1) применимо к распространению лучей как в открытой, так и в закрытой моделях. С помощью формул предыдущих параграфов можно выразить отсюда проходимое лучом расстояние как функцию времени.

В открытой модели луч света, вышедший из некоторой точки, по мере своего распространения неограниченно удаляется от нее. В закрытой же модели вышедший из исходной точки луч света в конце концов может дойти до «противоположного полюса» пространства (чему соответствует изменение до ); при дальнейшем распространении луч начнет приближаться к исходной точке. Обходу луча «вокруг пространства» и возвращению в исходную точку соответствовало бы изменение от 0 до . Из (114,1) мы видим, что при этом и должно было бы измениться на что, однако, невозможно (за исключением одного случая — выхода луча в момент, соответствующий Таким образом, луч не мог бы успеть возвратиться в исходную точку, обойдя «вокруг пространства».

Лучу, приходящему в точку наблюдения (начало координат), соответствует уравнение (114,1) со знаком минус перед . Если момент прихода луча в эту точку есть то при должно быть так что уравнение распространения таких лучей имеет вид

(114,2)

Отсюда видно, что к наблюдателю, находящемуся в точке могут дойти к моменту времени лучи, вышедшие из точек, находящихся на «расстояниях», не превышающих

Этот результат, относящийся как к открытой, так и к закрытой моделям, весьма существен. В каждый момент времени в данной точке пространства физическому наблюдению доступно не все пространство, а лишь его часть, соответствующая математической точки зрения «видимая область» пространства представляет собой сечение четырехмерного пространства-времени световым конусом. Это сечение оказывается конечным как для открытой, так и для закрытой моделей (бесконечным же в открытой модели является сечение гиперповерхностью t = const, соответствующее пространству, рассматриваемому во всех своих точках в один и тот же момент времени t). В этом смысле разница между открытой и закрытой моделями оказывается менее глубокой, чем это могло бы на первый взляд показаться.

Чем более удалена от наблюдателя наблюдаемая им в данный момент времени область пространства, тем более ранним моментам времени она соответствует. Представим себе сферическую поверхность, являющуюся геометрическим местом точек, из которых свет вышел в момент времени и наблюдается в начале координат в момент Площадь этой поверхности равна (в закрытой модели) или (в открытой модели). По мере удаления от наблюдателя площадь «видимой сферы» сначала возрастает от нуля (при затем достигает максимума, после чего снова уменьшается, обращаясь в нуль при . Это значит, что сечение световым конусом не только конечно, но и замкнуто. Оно как бы замыкается в точке, «противоположной» наблюдателю; ее можно увидеть при наблюдении в любом направлении в пространстве. В этой точке так что наблюдению доступна, в принципе, материя на всех ступенях ее эволюции.

Полное наблюдаемое количество материи равно в открытой модели интегралу

Подставив из (113,7), получим:

Эта величина неограниченно возрастает при . В закрытой же модели возрастание ограничено, разумеется, полной массой М; аналогичным образом получим в этом случае:

По мере возрастания от 0 до эта величина возрастает от 0 до М; в дальнейшем же увеличение согласно полученной формуле фиктивно и соответствует просто тому, что в «сжимающемся» мире удаленные тела наблюдались бы дважды (по свету, «обошедшему пространство» с двух сторон).

Рассмотрим теперь изменение частоты света при его распространении в изотропном пространстве. Для этого замечаем предварительно следующее обстоятельство. Пусть в некоторой точке пространства происходят два события, разделенные промежутком времени Если в моменты этих событий отправляются световые сигналы, наблюдаемые в другой точке пространства, то между моментами их наблюдения пройдет промежуток времени, соответствующий тому же изменению величины , что и в точке отправления.

Это следует непосредственно из уравнения (114,1), согласно которому изменение величины за время распространения луча света из одной точки в другую зависит только от разности координат х этих точек. Но поскольку за время распространения сигнала радиус кривизны а изменится, то промежутки времени t между моментами отправления двух сигналов и моментами их наблюдения будут различными; отношение этих промежутков равно отношению соответствующих значений а.

Отсюда следует, в частности, что и периоды световых колебаний, измеренные в мировом времени t, меняются вдоль луча пропорционально а. Частота же света будет, очевидно, обратно пропорциональна а. Таким образом, при распространении луча света вдоль него постоянно произведение

(114,5)

Предположим, что в момент времени мы наблюдаем свет, излученный источником, находящимся на расстоянии, соответствующем определенному значению координаты Моментом испускания этого света является, согласно (114,1), момент Если есть частота света в момент его испускания, то наблюдаемая нами частота равна, согласно (114,5),

При монотонно возрастающей функции а имеем т. е. происходит уменьшение частоты света. Это значит, что при наблюдении спектра приходящего света все его линии должны оказаться смещенными в красную сторону по сравнению со спектрами тех же веществ в обычных условиях. Это явление красного смещения представляет собой, по существу, эффект Доплера от взаимного «разбегания» галактик.

Величина красного смещения, измеряемая отношением сдвинутой частоты к несдвинутой, зависит (при данном моменте наблюдения) от расстояния, на котором находится наблюдаемый источник света (в соотношение (114,6) входит координата источника света). При не слишком больших расстояниях можно разложить в ряд по степеням ограничившись первыми двумя членами:

(штрих означает дифференцирование по ). Далее замечаем, что произведение является здесь не чем иным, как расстоянием l до наблюдаемого источника.

Действительно, «радиальный» элемент длины равен при интегрировании этого соотношения возникает вопрос о том, каким способом физического наблюдения определяется расстояние, — в зависимости от этого надо брать значения а в разных точках пути интегрирования в разные моменты времени (интегрирование при соответствовало бы одновременному рассмотрению всех точек пути, что физически неосуществимо). Но при «малых» расстояниях можно пренебречь изменением а вдоль пути интегрирования и написать просто со значением а, взятым в момент наблюдения.

В результате находим для относительной величины изменения частоты (ее обозначают обычно буквой ) следующую формулу:

где введено обозначение

для так называемой постоянной Хаббла. Эта величина не зависит при заданном моменте наблюдения от I. Таким образом, относительный сдвиг спектральных линий пропорционален расстоянию до наблюдаемого источника света.

Рассматривая красное смещение как результат эффекта Доплера, можно определить скорости v галактик, с которыми они удаляются от наблюдателя. Написав и сравнив с (114,7), находим

(114,9)

(эту формулу можно получить и непосредственно, вычисляя производную ).

Астрономические данные подтверждают закон (114,7), но определение значения постоянной Хаббла затрудняется неопределенностью в установлении масштаба космических расстояний, пригодного для удаленных галактик. Принятое в настоящее время значение составляет:

(114,10)

Это значение Н соответствует увеличению «скорости разбегания» на 75 км/с на каждый мегапарсек расстояния.

Подставляя в уравнение (113,4) , полупим для открытой модели следующее соотношение:

(114,11)

Комбинируя это уравнение с равенством

получим:

Для закрытой модели аналогичным образом получим:

(114,13)

Сравнивая (114,11) и (114,13), мы видим, что кривизна пространства отрицательна или положительна, смотря по тому, отрицательна или положительна разность Эта разность обращается в нуль при где

Со значением (114,10) получим . При современном состоянии астрономических сведений оценка средней плотности материи в пространстве может быть произведена лишь с весьма небольшой точностью. Для оценки, основанной на подсчете числа галактик и на их средней массе, принимают в настоящее время значение около . Это значение в 30 раз меньше и, таким образом, свидетельствовало бы в пользу открытой модели. Однако, не говоря уже о недостаточной достоверности самого этого значения, следует иметь в виду, что в нем не учитывается возможное существование межгалактического темного газа, учет которого мог бы существенно повысить среднюю плотность материи.

Отметим некоторое неравенство, которое оказывается возможным получить при заданном значении величины Я. Для открытой модели имеем , и отсюда

Поскольку , то должно быть

Аналогично для закрытой модели получим:

Возрастанию соответствует интервал ; поэтому получаем:

(11417)

Далее определим интенсивность I света, доходящего до наблюдателя от источника, находящегося на расстоянии, соответствующем определенному значению координаты Плотность потока световой энергии в точке наблюдения обратно пропорциональна поверхности сферы, проведенной через рассматриваемую точку с центром в точке нахождения источника; в пространстве отрицательной кривизны площадь поверхности сферы равна . Свет, испущенный источником в течение времени будет приходить в точку наблюдения в течение времени . Поскольку интенсивность определяется как поток световой энергии в единицу времени, то, следовательно, в появится множитель Наконец, энергия волнового пакета пропорциональна частоте (см. (53,9)); поскольку частота меняется при распространении света по закону (114,5), то это приведет к появлению в еще одного множителя В результате окончательно получаем интенсивность в виде

Для закрытой модели получилось бы аналогично:

(114,19)

Этими формулами устанавливается зависимость видимой яркости наблюдаемого объекта от его расстояния (при заданной абсолютной яркости). При малых можно положить и тогда , т. е. обычный закон уменьшения интенсивности обратно пропорционально квадрату расстояния.

Наконец, рассмотрим вопрос о так называемых собственных движениях тел. Говоря о плотности и движении материи, мы везде подразумевали усредненную плотность и усредненное движение; в частности, в той системе отсчета, которой мы все время пользуемся, скорость усредненного движения равна нулю. Истинные же скорости тел обнаруживают некоторый разброс вокруг своего среднего значения. С течением времени скорости собственного движения тел меняются. Для определения закона этого изменения рассмотрим свободно движущееся тело и выберем начало координат в какой-либо точке его траектории. Тогда траекторией будет являться радиальная линия .

Уравнение Гамильтона — Якоби (87,6) после подстановки значений примет вид

(114,20)

Поскольку в коэффициенты этого уравнения не входит (т. е. координата циклична), то имеет место закон сохранения . Импульс же движущегося тела равен, по общему определению, Таким образом, при движении тела остается постоянным произведение

(114,21)

Вводя скорость v собственного движения тела согласно

получим:

(114,22)

Этим соотношением определяется закон изменения скоростей со временем. По мере возрастания а скорости v монотонно падают.

Задачи

1. Найти первые два члена разложения видимой яркости галактики как функции ее красного смещения; абсолютная яркость галактики меняется со временем по экспоненциальному закону (Н. Robertson, 1955).

Решение. Зависимость видимой яркости туманности, наблюдаемой в «момент» от расстояния дается (для закрытой модели) формулой

Красное смещение, определенное согласно (114,7):

Разлагая и z но степеням (с функциями ) из (112,9-10)) в исключая затем из получающихся выражений, находим в результате:

где введено обозначение

Для открытой модели получается такая же формула с

2. Найти первые члены разложения числа галактик, находящихся внутри «сферы» заданного радиуса, как функции от красного смещения на границе сферы (пространственное распределение галактик предполагается однородным).

Решение. Число N галактик, находящихся на «расстоянии» есть (в закрытой модели)

Подставляя сюда первые два члена разложения функции получим:

В таком виде эта формула справедлива и для открытой модели,