§ 115. Гравитационная устойчивость изотропного мира

Рассмотрим вопрос о поведении малых возмущений в изотропной модели, т. е. о ее гравитационной устойчивости (Е. М. Лифшиц, 1946). При этом мы ограничимся рассмотрением возмущений в сравнительно небольших областях пространства — областях, линейные размеры которых малы по сравнению с радиусом

В каждой такой области пространственная метрика может быть принята в первом приближении евклидовой, т. е. метрика (111,8) или (111,12) заменится метрикой

(116,1)

где — декартовы координаты, измеренные в единицах радиуса а. В качестве временной координаты будем по-прежнему пользоваться переменной

Без ограничения общности, будем описывать возмущенное поле по-прежнему в синхронной системе отсчета т. е. наложим на изменения метрического тензора условия . Варьируя при этих условиях тождество (и имея в виду, что невозмущенные значения компонент -скорости материи , получим , откуда . Возмущения же , вообще говоря, отличны от нуля, так что система отсчета — уже не сопутствующая.

Возмущения пространственного метрического тензора обозначим посредством . Тогда причем поднимание индексов осуществляется с помощью невозмущенной метрики

В линейном приближении малые возмущения гравитационного поля удовлетворяют уравнениям

(115,2)

В сихронной системе отсчета вариации компонент тензора энергии-импульса (94,9) равны:

(115,3)

Ввиду малости можно написать и мы получаем соотношения

(115,4)

Формулы для можно получить варьированием выражений (97,10). Поскольку невозмущенный метрический тензор то невозмущенные значения

где точка означает дифференцирование по а штрих — по Возмущения же величин

где . Невозмущенные значения трехмерного тензора для евклидовой метрики (115,1) равны нулю. Вариации же вычисляются по формулам (108,3-4); очевидно, что выражается через буар так же, как 4-тензор выражается через причем все тензорные операции производятся в трехмерном пространстве с метрикой (115,1); ввиду евклидовости этой метрики все коварнантные дифференцирования сводятся к простым дифференцированиям по координатам (контрава-риантные же дифференцирования — еще и к делению на ). Имея все это в виду (и переходя везде от производных по t к производным по ), получим после простого вычисления:

(115,5)

. Здесь как нижние, так и верхние индексы после запятой означают простые дифференцирования по координатам (мы продолжаем писать индексы вверху и внизу лишь для сохранения единообразия обозначений).

Окончательные уравнения для возмущения мы получим, подставив в (115,4) компоненты выраженные через согласно (115,2). В качестве этих уравнений удобно выбрать уравнения, получающиеся из (115,4) при и при упрощении по индексам . Они гласят:

Возмущения плотности и скорости материи могут быть определены по известным с помощью формул (115,2-3). Так, для относительного изменения плотности имеем:

Среди решений уравнений (115,6) есть такие, которые могут быть исключены простым преобразованием системы отсчета (не нарушающим ее синхронности) и поэтому не представляют собой реального физического изменения метрики. Вид таких решений может быть заранее установлен с помощью полученных в задаче 3 § 97 формул (1) и (2). Подставив в них невозмущенные значения получим следующие выражения для фиктивных возмущений метрики:

(115,8)

где — произвольные (малые) функции координат х, у, z.

Поскольку метрика в рассматриваемых нами небольших областях пространства предполагается евклидовой, то произвольное возмущение в каждой такой области может быть разложено по плоским волнам. Понимая под х, у, z декартовы координаты, измеренные в единицах а, мы можем написать пространственный периодический множитель плоских волн в виде , где — безразмерный вектор, представляющий собой волновой вектор, измеренный в единица (волновой вектор ). Если мы имеем возмущение в участке пространства с размерами то в его разложение войдут в основном волны с длинами . Ограничиваясь возмущениями в областях с размерами , мы тем самым предполагаем число достаточно большим ).

Гравитационные возмущения можно разделить на три типа. Эта классификация сводится к определению возможных типов плоских волн, в виде которых может быть представлен симметричный тензор Таким образом получим следующую классификацию:

1. С помощью скалярной функции

(115,9)

можно составить вектор в тензоры

(115,10)

Таким плоским волнам отвечают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывают изменения также скорость и плотность материи, т. е. мы имеем дело с возмущениями, сопровождающимися возникновением сгущений или разрежений материи. Возмущение выражается при этом через тензоры возмущение скорости — через вектор Р, а возмущение плотности — через скаляр

2. С помощью поперечной векторной водны

(115,11)

можно составить тензор соответствующего же скаляра не существует, поскольку . Этим волнам отвечают возмущения, в которых наряду с гравитационным полем испытывает изменение скорость, но не плотность материи; их можно назвать вращательными возмущениями.

3. Поперечная тензорная волна

(115,12)

С ее помощью нельзя составить ни вектора, ни скаляра. Этим волнам отвечают возмущения гравитационного поля, при которых материя остается неподвижной и однородно распределенной в пространстве. Другими словами, это — гравитационные волны в изотропном мире.

Наиболее интересны возмущения первого тина. Полагаем

(115,13)

Из (115.7) получим для относительного изменения плотности

(1,514)

Уравнения, определяющие функции получаются подстановкой (115,13) в (115,6):

Эти уравнения имеют прежде всего следующие два частных интеграла, соответствующие тем фиктивным изменениям метрики, которые могут быть исключены преобразованием системы отсчета:

(115,16)

(первый из них получается из (115,8) выбором , второй — выбором .

На ранних стадиях расширения мира, когда материя описывается уравнением состояния имеем а (как в открытой, так и в закрытой моделях). Уравнения (115.15) принимают вид

(115,18)

Исследование этих уравнений удобно нроизводить раздельно для двух предельных случаев в зависимости от взаимного соотношения между двум» большими величинами

Предположим сначала, что число не слишком велико (или достаточно мало), так что . С той точностью, с которой справедливы уравнений (115,18), находим из них в данном случае:

где постоянные; отсюда исключены решения вида (115.16) в (115,17) (в данном случае это — решение, в котором и в котором Вычислив также согласно (115,14) и (112,15), получим следующие выражения для возмущений метрики и плотности:

Постоянные должны удовлетворять определенным условиям, выражающим малость возмущения в момент его возникновения: должно быть (откуда ) и применении к (115,19) эти условия приводят к неравенствам .

В выражениях (115,19) имеются члены, возрастающие в расширяющемся мире как различные степени радиуса

Однако это возрастание не приводит к тому, чтобы возмущение могло стать большим: если применить формулы (115,19) по порядку величины при то мы увидим, что (в силу полученных выше неравенств для ) возмущения остаются малыми даже на верхнем пределе действия этих формул.

Пусть теперь число настолько велико, что Решая уравнения (115,18) при этом условии, найдем, что главные члены в равны:

Отсюда находим для возмущений метрики и плотности:

(115,20)

где С — комплексная постоянная, удовлетворяющая условию . Наличие периодического множителя в этих выражениях вполне естественно. При больших мы имеем дело с возмущением, пространственная периодичность которого определяется большим волновым вектором Такие возмущения должны распространяться как звуковые волны со скоростью

Соответственно временная часть фазы определяется как полагается в геометрической акустике, большим интегралом

. Амплитуда относительного изменения плотности остается, как мы видим, постоянной, амплитуды же возмущений метрики при расширении мира убывают как .

Далее, рассмотрим более поздние стадии расширения, когда материя разрежена уже настолько, что можно пренебречь ее давлением (). При этом мы ограничимся здесь лишь случаем малых , соответствующих тем стадиям расширения, когда радиус а еще очень мал по сравнению с его современным значением, но все же материя уже достаточно разрежена.

При имеем а и уравнения (115,15) принимают вид

Решение этих уравнений:

Вычислив также (с помощью (115,14) и (112,12)), находим:

(115,21)

Мы видим, что содержит член, возрастающий пропорционально Однако если , то не становится все же большим даже при в силу условия . Если же , то при относительное изменение плотности становится порядка между тем как малость начального возмущения требует лишь, чтобы было . Таким образом, хотя возрастание возмущений происходит и медленно, но общее увеличение может быть значительным и в результате возмущение может стать сравнительно большим.

Аналогичным образом могут быть рассмотрены возмущения второго и третьего из перечисленных выше типов. Однако законы затухания этих возмущений могут быть найдены и без детальных вычислений, исходя из следующих простых соображений.

Если в небольшом участке вещества (с линейными размерами I) имеется вращательное возмущение со скоростью то момент импульса этого участка При расширении мира растет пропорционально а, убывает как (в случае или как (при ). В силу сохранения момента имеем поэтому

(115,22)

Наконец, плотность энергии гравитационных волн должна убывать при расширении мира как .

С другой стороны, эта плотность, выражается через возмущение метрики как где — волновой вектор возмущения. Отсюда следует, что амплитуда возмущения типа гравитационной волны убывает со временем как .