§ 25. Инварианты поля

Из векторов напряженностей электрического и магнитного полей можно составить инвариантные величины, остающиеся неизменными при преобразованиях от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Вид этих инвариантов легко найти исходя из четырехмерного представления поля с помощью антисимметричного 4-тензора . Очевидно, что из компонент этого тензора можно составить следующие инвариантные величины:

где — совершенно антисимметричный единичный тензор (см. § 6).

Первая из этих величин — истинный скаляр, а вторая — псевдоскаляр (произведение тензора на дуальный ему тензор).

Выражая компоненты через компоненты Е и Н согласно (23,5), легко убедиться в том, что в трехмерной форме эти инварианты имеют вид

Псевдоскалярность второго из них очевидна из того, что он представляет собой произведение полярного вектора Е на аксиальный вектор Н (квадрат же будет истинным скаляром)

Из инвариантности приведенных двух выражений вытекают следующие выводы. Если в какой-нибудь системе отсчета электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны, т. е. , то они перпендикулярны и во всякой другой инерциальной системе отсчета. Если в какой-нибудь системе отсчета абсолютные величины Е и Н равны друг другу, то они одинаковы и в любой другой системе.

Имеют, очевидно, место также и следующие неравенства. Если в какой-нибудь системе отсчета то и во всякой другой системе будет (или Если в какой-либо системе отсчета векторы Е и Н образуют острый (или тупой) угол, то они будут образовывать острый (или тупой) угол и во всякой другой системе.

Преобразованием Лоренца можно всегда достичь того, чтобы Е и Н получили любые значения, удовлетворяющие только условию, чтобы и ЕН имели заданные определенные значения. В частности, можно найти такую инерциальную систему отсчета, в которой электрическое и магнитное поля в данной точке параллельны друг другу. В этой системе и из двух уравнений

можно найти значения Е и Н в этой системе отсчета и Но — электрическое и магнитное поля в исходной системе отсчета).

Исключением является случай, когда оба инварианта равны нулю. В этом случае Е и Н во всех системах отсчета равны по величине и взаимно перпендикулярны по направлению.

Если лишь ЕН = 0, то можно найти такую систему отсчета, в которой Е = 0 или Н = 0 (смотря по тому или т. е. поле чисто магнитное или чисто электрическое; наоборот, если в какой-нибудь системе отсчета Е = 0 или Н = 0, то во всякой другой системе они будут взаимно перпендикулярны в соответствии со сказанным в конце предыдущего параграфа.

Изложим еще и другой способ подхода к вопросу об инвариантах антисимметричного 4-тензора. Этот способ делает очевидным единственность двух независимых инвариантов (25,3-4) и в то же время выявляет некоторые поучительные математические свойства преобразований Лоренца в применении к 4-тензору.

Рассмотрим комплексный вектор

Используя формулы (24,2-3), легко видеть, что преобразование Лоренца (вдоль оси х) для этого вектора имеет вид

Мы видим, что вращение в плоскости -пространства (каковым и является рассматриваемое прербразование Лоренца) для вектора F эквивалентно вращению на мнимый угол в плоскости yz трехмерного пространства. Совокупность же всех возможных поворотов в 4-пространстве (включающая в себя также и простые повороты осей х) эквивалентна совокупности всех возможных поворотов на комплексные углы в трехмерном пространстве (шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три комплексных угла поворота трехмерной системы).

Единственным инвариантом вектора по отношению к поворотам является его квадрат Поэтому вещественные величины и ЕН являются единственными инвариантами тензора

Если то вектор F можно представить в виде где — единичный комплексный вектор. Путем надлежащего комплексного поворота можно направить вдоль одной из координатных осей; при этом, очевидно, станет вещественным и тем самым определит направления обоих векторов Е и Н: Другими словами, векторы Е и Н станут параллельными друг другу.

Задача

Определять скорость системы отсчета, в которой электрическое и маг» нитное поля параллельны.

Решение. Систем отсчета удовлетворяющих поставленному условию, существует бесконечное множество: если найдена одна из них, то так же свойством будет обладать и любая другая система, движущаяся относительно первой со скоростью, направленной вдоль общего направления полей Е и Н, Поэтому достаточно определить ту из этих систем, скорость которой перпендикулярна к обоим полям. Выбирая направление скорости в качестве оси х и воспользовавшись тем, что в системе К поля получим с помощью формул для скорости V системы К относительно исходной системы следующее уравнение:

(из двух корней квадратного уравнения должен, разумеется, быть выбран тот, для которого ).