Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 103. Гравитационный коллапс пылевидной сферыВыяснение хода изменения внутреннего состояния коллапсирующего тела (в том числе в течение процесса его сжатия под шварцшильдовой сферой) требует решения уравнений Эйнштейна для гравитационного поля в материальной среде. В центрально-симметричном случае уравнения поля могут быть решены в общем виде в пренебрежении давлением вещества, т. е. для уравнения состояния «пылевидной» материи: Как было указано в § 97, пылевидная среда допускает выбор системы отсчета, являющейся одновременно синхронной и сопутствующей. Обозначив выбранные именно таким образом время и радиальную координату посредством
Функция Вычисление компонент тензора Риччи для этой метрики приводит к следующей системе уравнений Эйнштейна:
где штрих означает дифференцирование по R, а точка — по Уравнение (103,5) непосредственно интегрируется по времени, давая
где
(подстановка же в (103,3) не дает ничего нового). Первый интеграл этого уравнения есть
где
Получающуюся в результате интегрирования зависимость
где
Во всех случаях, подставив (103,6) в (103,4) и исключив f с помощью (103,7), получим следующее выражение для плотности материи:
Формулы (103,6-11) определяют искомое общее решение. Заметим, что оно зависит всего от двух «физически различных» произвольных функций: хотя в нем фигурируют три функции Это число как раз соответствует тому, что наиболее общее центрально-симметричное распределение материи задается двумя функциями (распределение плотности и радиальной скорости материи), а свободного гравитационного поля с центральной симметрией вообще не существует. Поскольку система отсчета сопутствует материи, то каждой частице вещества отвечает определенное значение
Подставив сюда (103,11) и заметив, что
( При Формулы (103,8-10) описывают (в зависимости от пробегаемой параметром Предельный характер метрики внутри шара при
Это значит, что все радиальные расстояния (в рассматриваемой сопутствующей системе отсчета) стремятся к бесконечности, а окружные — к нулю, причем все объемы тоже стремятся к нулю (как
Таким образом, в соответствии со сказанным в § 102, происходит коллапс всего распределения материи в центр. В частном случае, когда функция
т. е. при Обратим внимание на то, что во всех случаях момент прохождения поверхности коллапсирующего шара под шварцшильдову сферу ( Подобно тому, как Наконец, покажем, каким образом полученными формулами можно воспользоваться для решения поставленного в конце § 102 вопроса: построения наиболее полной системы отсчета для поля точечной массы Для достижения этой цели надо исходить из такой метрики в пустоте, которая содержала бы как сжимающуюся, так и расширяющуюся пространственно-временные области. Таковым является решение (103,9), в котором надо положить
получим:
когда параметр
Рис. 24 На рис. 24 линии АСВ и АСВ отвечают точке Мировая линия частицы, покоящейся относительно данной системы отсчета, — вертикальная прямая (R = const). Она начинается от
Полученная система является полной: оба конца мировой линии всякой движущейся в поле частицы лежат либо на истинной особенности ЗадачаНайти решение внутренней задачи для гравитационного коллапса пылевидной однородной сферы, вещество которой в начальный момент покоится. Решение. Положив
получим
(радиальная координата R здесь безразмерна и пробегает значения от 0 до
и при заданном
Обратим внимание на то, что она совпадает с решением Фридмана для метрики мира, полностью заполненного однородной пылевидной материей (§ 112), — вполне естественный результат, поскольку сфера, вырезанная из однородного распределения материи, обладает центральной симметрией. Поставленному начальному условию можно удовлетворить решением (1) с определенным выбором постоянных
причем (согласно (103,12)) гравитационный радиус шара Время t в системе отсчета удаленного наблюдателя (шварцшильдова система) связано с собственным временем на шаре
где под
(причем момент
При приближении к этому значению время
|
1 |
Оглавление
|