§ 103. Гравитационный коллапс пылевидной сферы

Выяснение хода изменения внутреннего состояния коллапсирующего тела (в том числе в течение процесса его сжатия под шварцшильдовой сферой) требует решения уравнений Эйнштейна для гравитационного поля в материальной среде. В центрально-симметричном случае уравнения поля могут быть решены в общем виде в пренебрежении давлением вещества, т. е. для уравнения состояния «пылевидной» материи: (R. Tolman, 1934). Хотя такое пренебрежение в реальных ситуациях обычно недопустимо, общее решение этой задачи представляет заметный методический интерес.

Как было указано в § 97, пылевидная среда допускает выбор системы отсчета, являющейся одновременно синхронной и сопутствующей. Обозначив выбранные именно таким образом время и радиальную координату посредством и R, напишем сферически-симметричный элемент интервала в виде

(103,1)

Функция представляет собой «радиус», определенный так, что есть длина окружности (с центром в начале координат). Форма (103,1) фиксирует выбор однозначным образом, но допускает еще произвольные преобразования радиальной координаты вида .

Вычисление компонент тензора Риччи для этой метрики приводит к следующей системе уравнений Эйнштейна:

(103,2)

где штрих означает дифференцирование по R, а точка — по .

Уравнение (103,5) непосредственно интегрируется по времени, давая

(103,6)

где - произвольная функция, удовлетворяющая лишь условию Подставив это выражение в (103,2), получим

(подстановка же в (103,3) не дает ничего нового). Первый интеграл этого уравнения есть

(103,7)

где — еще одна произвольная функция. Отсюда

Получающуюся в результате интегрирования зависимость можно представить в параметрическом виде:

(103,8)

где — снова произвольная функция. Если же , то

(103,10)

Во всех случаях, подставив (103,6) в (103,4) и исключив f с помощью (103,7), получим следующее выражение для плотности материи:

(103,11)

Формулы (103,6-11) определяют искомое общее решение. Заметим, что оно зависит всего от двух «физически различных» произвольных функций: хотя в нем фигурируют три функции , то, но сама координата еще быть подвергнута произвольному преобразованию

Это число как раз соответствует тому, что наиболее общее центрально-симметричное распределение материи задается двумя функциями (распределение плотности и радиальной скорости материи), а свободного гравитационного поля с центральной симметрией вообще не существует.

Поскольку система отсчета сопутствует материи, то каждой частице вещества отвечает определенное значение функция же при этом значении R определяет закон движения данной частицы, а производная есть ее радиальная скорость. Важное свойство полученного решения состоит в том, что задание входящих в него произвольных функций в интервале от 0 до некоторого полностью определяет поведение сферы этого радиуса; оно не зависит от того, каким образом заданы эти функции при Тем самым автоматически получается решение внутренней задачи для любой конечной сферы. Полная масса шара дается, согласно (100,23), интегралом

Подставив сюда (103,11) и заметив, что (при должно быть и найдем:

( — гравитационный радиус шара).

При из (103,11) имеем так что решение относится к пустому пространству, т. е. описывает поле точечной массы (находящейся в центре — особой точке метрики). Так, положив , получим метрику (102,3)).

Формулы (103,8-10) описывают (в зависимости от пробегаемой параметром области значений) как сжатие, так и расширение шара; то и другое в равной степени допускаются самими по себе уравнениями поля. Реальной задаче о поведении неустойчивого массивного тела отвечает сжатие — гравитационный коллапс. Решения (103,8-10) выписаны таким образом, что сжатие имеет место, когда , увеличиваясь, стремится к . Моменту отвечает достижение центра веществом с заданной радиальной координатой R (при этом должно быть ).

Предельный характер метрики внутри шара при одинаков во всех трех случаях (103,8-10):

Это значит, что все радиальные расстояния (в рассматриваемой сопутствующей системе отсчета) стремятся к бесконечности, а окружные — к нулю, причем все объемы тоже стремятся к нулю (как ). Соответственно этому плотность материи неограниченно возрастает:

(103,14)

Таким образом, в соответствии со сказанным в § 102, происходит коллапс всего распределения материи в центр.

В частном случае, когда функция (т. е. все частицы достигают центра одновременно), метрика внутри сжимающегося шара имеет другой характер. В этом случае

т. е. при все расстояния — как окружные, так и радиальные стремятся к нулю по одинаковому закону ; плотность материи стремится к бесконечности как причем в пределе ее распределение становится однородным.

Обратим внимание на то, что во всех случаях момент прохождения поверхности коллапсирующего шара под шварцшильдову сферу ( ) ничем не замечателен для его внутренней динамики (описываемой метрикой в сопутствующей системе отсчёта). В каждый момент времени, однако, определенная часть шара уже находится под своим «горизонтом событий».

Подобно тому, как определяет, согласно (183,12), гравитационный радиус шара в целом, так для любого заданного значения R есть гравитационный радиус части шара, расположенный под сферической поверхностью ; поэтому указанная часть шара определяется в каждый момент времени условием

Наконец, покажем, каким образом полученными формулами можно воспользоваться для решения поставленного в конце § 102 вопроса: построения наиболее полной системы отсчета для поля точечной массы

Для достижения этой цели надо исходить из такой метрики в пустоте, которая содержала бы как сжимающуюся, так и расширяющуюся пространственно-временные области. Таковым является решение (103,9), в котором надо положить Выбрав также

получим:

когда параметр пробегает значения от до 0, время (при заданном R) монотонно возрастает, а возрастает от нуля, проходит через максимум и снова убывает до нуля.

Рис. 24

На рис. 24 линии АСВ и АСВ отвечают точке (им соответствуют значения параметра Линии отвечают шварцшильдовой сфере . Между АСВ и АО В расположена пространственно-временная область, в которой возможно лишь движение от центра, а между АСВ и АО В — область, в которой движение происходит лишь по направлению к центру.

Мировая линия частицы, покоящейся относительно данной системы отсчета, — вертикальная прямая (R = const).

Она начинается от (точка а), пересекает сферу Шварцшильда в точке достигает в момент наибольшего удаления затем частица снова начинает падать к сфере Шварцшильда, пересекает ее в точке с и вновь достигает (точка d) в момент

Полученная система является полной: оба конца мировой линии всякой движущейся в поле частицы лежат либо на истинной особенности либо уходят на бесконечность. Не полная же метрика (102,3) охватывает собой только область правее линии АОА (или левее ВОВ), а такая же «расширяющаяся» система отсчета — область справа от ВОВ (или слева от АОА). Что же касается шварцшильдовой системы отсчета с метрикой (100,14), то она охватывает лишь область справа от ВОА (или слева от АОВ),

Задача

Найти решение внутренней задачи для гравитационного коллапса пылевидной однородной сферы, вещество которой в начальный момент покоится.

Решение. Положив

получим

(радиальная координата R здесь безразмерна и пробегает значения от 0 до ), При этом плотность

и при заданном не зависит от R, т. е. шар однороден. Метрику (103,1) с из (1) можно представить в виде

Обратим внимание на то, что она совпадает с решением Фридмана для метрики мира, полностью заполненного однородной пылевидной материей (§ 112), — вполне естественный результат, поскольку сфера, вырезанная из однородного распределения материи, обладает центральной симметрией.

Поставленному начальному условию можно удовлетворить решением (1) с определенным выбором постоянных . Изменив здесь для удобства определение параметра представим решение в виде

причем (согласно (103,12)) гравитационный радиус шара . В начальный момент вещество покоится ), а - начальная длина окружности шара, Падение всего вещества в центр происходит в момент

Время t в системе отсчета удаленного наблюдателя (шварцшильдова система) связано с собственным временем на шаре уравнением

где под надо понимать значение отвечающее поверхности шара. Интегрирование этого уравнения приводит к следующему выражению функции того же параметра

(причем момент отвечает моменту Прохождению поверхности шара через шварцшильдову сферу отвечает значение параметра к), определяемое равенством

При приближении к этому значению время — в соответствии со сказанным в § 102).