§ 14. Момент импульса

Как известно из классической механики, у замкнутой системы, кроме энергии и импульса, сохраняется еще и момент импульса, т. е. вектор

( - вектор и импульс частицы; суммирование производится по всем частицам, входящим в состав системы). Сохранение момента является следствием того, что функция Лагранжа для замкнутой системы в силу изотропии пространства не меняется при повороте системы как целого.

Проделав теперь аналогичный вывод в четырехмерном виде, мы получим релятивистское выражение для момента. Пусть х — координаты одной из частиц системы. Произведем бесконечно малый поворот в четырехмерном пространстве.

Это есть преобразование, при котором координаты принимают новые значения так что разности являются линейными функциями:

с оесконечно малыми коэффициентами Компоненты 4-тензора связаны при этом соотношениями, возникающими в результате требования, чтобы при повороте оставалась неизменной длина 4-радиус-вектора, т. е. чтобы было . Подставляя сюда из (14,1) и отбрасывая члены, квадратичные по как бесконечно малые высшего порядка, находим:

Это равенство должно выполняться при произвольных Поскольку — симметричный тензор, должны составлять антисимметричный тензор (произведение симметричного тензора на антисимметричный, очевидно, тождественно равно нулю):

Изменение действия при бесконечно малом изменении координат начальной а и конечной b точек траектории имеет вид (см. (9,10))

(суммирование производится по всем частицам системы). В случае рассматриваемого нами сейчас поворота а потому

Если разбить тензор на симметричную и антисимметричную части, то первая из них при умножении на антисимметричный тензор тождественно дает нуль. Поэтому, выделяя из антисимметричную часть, мы можем написать предыдущее равенство в виде

Для замкнутой системы действие, будучи инвариантом, не меняется при повороте в 4-пространстве. Это означает, что должны быть равны нулю коэффициенты при в (14,3):

Мы видим, что у замкнутой системы остается постоянным при движении, т. е. сохраняется, тензор

Этот антисимметричный тензор носит название -тензора момента.

Пространственные компоненты тензора момента совпадают с компонентами трехмерного вектора момента

Компоненты же составляют вектор Таким образом, можно записать компоненты тензора в виде

В силу сохранения для замкнутой системы имеем, в частности:

Поскольку, с другой стороны, полная энергия тоже сохраняется, то это равенство можно написать в виде

Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором

равномерно движется со скоростью

которая есть не что иное, как скорость движения системы как целого (отвечающая по формуле (9,8) ее полным энергии и импульсу). Формула (14,6) дает релятивистское определение координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению с то можно приближенно положить и (14,6) переходит в обычное классическое выражение

Обратим внимание на то, что компоненты вектора (14,6) не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и потому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции одной и той же системы частиц по отношению к различным системам отсчета — это различные точки.

Задача

Найти связь между моментом импульса М тела (системы частиц) в системе отсчета К, в которой тело движется со скоростью V, и его моментом в системе отсчета Ко, в которой тело как целое покоится; в обоих случаях момент определяется по отношению к одной и той же точке центру инерции тела в системе Ко

Решение. Система Ко движется относительно К со скоростью V; выберем ее направление в качестве оси Интересующие нас компоненты тензора преобразуются по формулам (см. задачу 2 § §)

Так как начало координат выбрано в центре инерции тела (в системе Ко), то в этой системе , а поскольку в ней и то учитывая связь между компонентами М и вектором М, находим для последнего: