§ 16. Четырехмерный потенциал поля

Действие для частицы, движущейся в заданном электромагнитном поле, складывается из двух частей: из действия (8,1) свободной частицы и из члена, описывающего взаимодействие частицы с полем. Последний должен содержать как величины, характеризующие частицу, так и величины, характеризующие поле.

Оказывается, что свойства частицы в отношении ее взаимодействия с электромагнитным полем определяются всего одним параметром — так называемым зарядом частицы , который может быть как положительной, так и отрицательной (или равной нулю) величиной. Свойства же поля характеризуются 4-вектором , так называемым 4-потенциалом, компоненты которого являются функциями координат и времени. Эти величины входят в действие в виде члена

где функции берутся в точках мировой линии частицы. Множитель 1/с введен здесь для удобства. Следует отметить, что до тех пор, пока у нас нет никаких формул, связывающих заряд или потенциалы с известными уже величинами, единицы для их измерения могут быть выбраны произвольным образом.

Таким образом, действие для заряда в электромагнитном поле имеет вид

Три пространственные компоненты 4-вектора образуют трехмерный вектор А, называемый векторным потенциалом поля. Временную же компоненту называют скалярным потенциалом-, обозначим ее как Таким образом,

Поэтому интеграл действия можно написать в виде

или, вводя скорость частицы и переходя к интегрированию по времени,

(16,3)

Подынтегральное выражение есть функция Лагранжа для заряда в электромагнитном поле:

Это выражение отличается от функции Лагранжа (8,2) для свободной частицы членами которые описывают взаимодействие заряда с полем.

Производная есть обобщенный импульс частицы; обозначим его посредством Р. Производя дифференцирование, находим:

Здесь мы обозначили посредством обычный импульс частицы который мы и будем называть просто импульсом.

Из функции Лагранжа можно найти функцию Гамильтона частицы в поле по известной общей формуле

Подставляя сюда (16,4), найдем:

Функция Гамильтона, однако, должна быть выражена не через скорость, а через обобщенный импульс частицы.

Из (16,5-6) видно, что соотношение между и такое же, как между в отсутствие поля, т. е.

или иначе:

Для малых скоростей, т. е. в классической механике, функция Лагранжа (16,4) переходит в

В этом приближении

и мы находим следующее выражение для функции Гамильтона:

Наконец, выпишем уравнение Гамильтона — Якоби для частицы в электромагнитном поле. Оно получается заменой в функции Гамильтона обобщенного импульса Р на , а самого на . Таким образом, получим из (16,7):

(16,11)