§ 71. Квадрупольное и магнитно-дипольное излучения

Рассмотрим

теперь излучение, обусловленное следующими членами разложения векторного потенциала по степеням отношения размеров системы к длине волны, по-прежнему предполагающегося малым. Хотя эти члены, вообще говоря, малы по сравнению с первым (дипольным), они существенны в тех случаях, когда дипольный момент системы равен нулю, так что дипольное излучение вообще отсутствует.

Разлагая в (66,2)

подынтегральное выражение по степеням и сохраняя теперь два первых члена, находим:

Подставляя сюда и переходя к точечным зарядам, получим:

Здесь и ниже (как и в § 67) мы для краткость опускаем индекс у всех величин в правой стороне равенства.

Во втором слагаемом пишем:

Мы находим тогда для А выражение

где d — дипольный момент системы, — ее магнитный момент. Для дальнейшего преобразования заметим, что к А можно прибавить, не изменяя поля, любой вектор, пропорциональный — в силу формул (66,3) Е и Н при этом не изменятся. Поэтому вместо (71,2) с тем же правом можно написать:

Но стоящее под знаком выражение есть произведение, вектора на тензор квадрупольного момента (см. § 41). Вводя вектор D с компонентами находим окончательное выражение для векторного потенциала:

Зная А, мы можем теперь определить поля Н и Е с помощью общих формул (66,3):

Интенсивность излучения в телесный угол определяется согласно (66,6). Мы определим здесь полное излучение, т. е. энергию, излучаемую системой в единицу времени по всем направлениям. Для этого усредним по всем направлениям ; полное излучение равно этому среднему, умноженному на . При усреднении квадрата магнитного поля все взаимные произведения первого, второго и третьего членов в Н исчезают, так что остаются только средние квадраты каждого из них.

Несложные вычисления дают в результате

Таким образом, полное излучение состоит из трех независимых частей; они называются соответственно дипольным, квадрупольным и магнитно-дипольным излучениями.

Отметим, что магнитна-дипольное излучение фактически во многих случаях отсутствует. Так, оно отсутствует у системы, в которой отношение заряда к массе у всех движущихся частиц одинаково (в этом случае отсутствует и дипольное излучение, как уже было отмечено в § 67). Действительно, у такой системы магнитный момент пропорционален механическому моменту импульса (см. § 44), и потому, в силу закона сохранения последнего, По той же причине (см. задачу к § 44) магнитно-дипольное излучение отсутствует у всякой системы, состоящей всего из двух частиц (чего, однако, нельзя сказать о дипольном излучении).

Задачи

1. Вычислить полное эффективное излучение при рассеянии потока заряженных частиц одинаковыми с ними частицами.

Решение. Дипольное (а также магиитно-дипольное) излучение при столкновении одинаковых частиц отсутствует, так что надо вычислить квадрупольное излучение. Тензор квадруполыюго момента системы из двух одинаковых частиц (относительно их общего центра инерции) равен

где — компоненты радиус-вектора между частицами. После трехкратного дифференцирования выражаем первую, вторую и третью производные по времени от координатха через относительную скорость частиц согласно

где — радиальная компонента скорости (второе равенство ест уравнение движения заряда, а третье получается дифференцированием второго).

Вычисление приводит к следующему выражению для интенсивности

выражаем через с помощью равенств

Интегрирование по времени заменяем интегрированием по подобно тому, как это было сделано в задаче 3 к § 70, т. е. написав

В двойном интеграле (по ) производим сначала интегрирование я затем по . В результате вычислений получается следующий результат:

2. Найти силу отдачи, действующую на излучающую систему частиц, совершающих стационарное финитное движение.

Решение. Искомая сила F вычисляется как потеря импульса системой в единицу времени, т. е. как поток импульса, уносимого испускаемыми системой электромагнитными волнами:

интегрирование производится по сферической поверхности большого радиуса . Тензор напряжений дается формулой (33,3), а поле Е и Н берем из (71,4). Ввиду поперечности этих полей интеграл сводится к

Усреднение во направлениям производится с помощью формул, приведенных в примечании на стр. 250 (произведения же нечетного числа компонент обращаются в нуль). В результате получим: