§ 39. Движение в кулоновом поле

Рассмотрим движение частицы с массой m и зарядом в поле, создаваемом другим зарядом мы предполагаем, что масса последнего настолько велика, что его можно считать неподвижным. Тогда задача сводится к исследованию движения заряда в центрально-симметричном электрическом поле с потенциалом

Полная энергия частицы равва

где Если пользоваться полярными координатами в плоскости движения частицы, то, как известно из механики,

где — радиальная компонента импульса, а М — постоянный момент импульса частицы.

Тогда

Выясним вопрос о том, может ли частица при своем движении приближаться сколь угодно близко к центру. Прежде всего очевидно, что это во всяком случае невозможно, если заряды отталкиваются, т. е. — одного знака. Далее, в случае притяжения ( имеют различные знаки) неограниченное приближение к центру невозможно, если действительно, в этом случае первый член в (39,1) всегда больше второго, и при правая сторона этого равенства стремилась бы к бесконечности. Напротив, если то при это выражение может оставаться конечным (при этом, разумеется, стремится к бесконечности ). Таким образом, если

то частица при своем движении «падает» «а притягивающий ее заряд, — в противоположность тому, что в нерелятивистской механике в кулоновом поле такое падение вообще невозможно (за исключением только случая когда частица летит прямо на частицу ).

Полное определение движения заряда в кулоновом поле удобнее всего производить, исходя из уравнения Гамильтона — Якоби. Выберем полярные координаты в плоскости движения. Уравнение Гамильтона — Якоби (16,11) имеет вид

Ищем S в виде

где S и М — постоянные энергия и момент импульса движущейся частицы. В результате находим:

Траектория определяется уравнением Интегрирование в (39,3) приводит к следующим результатам для траектории:

а) если

б) если

в) если

Постоянная интегрирования заключена в произвольном выборе начала отсчета угла

В (39,4) выбор знака перед корнем несуществен, так как тоже связан с выбором начала отсчета угла под знаком Изображаемая этим уравнением траектория в случае притяжения лежит целиком при конечных значениях (финитное движение), если Если же то может обращаться в бесконечность (движение инфинитно). Финитному движению соответствует в нерелятивистской механике движение по замкнутым орбитам (эллипсам). В релятивистской же механике траектория никогда не может быть замкнутой — из (39,4) видно, что при изменении угла на расстояние от центра не возвращается к исходному значению. Вместо эллипсов мы имеем здесь орбиты в виде незамкнутых «розеток». Таким образом, в то время как в нерелятивистской механике финитное движение в кулоновом поле происходит по замкнутым орбитам, в релятивистской механике кулоново поле теряет это свое свойство.

В (39,5) перед корнем должен быть выбран знак при знак — при (другой выбор знаков соответствовал бы измененному знаку перед корнем в ).

При траектории (39,5) и (39,6) представляют собой спирали с радиусом , стремящимся к нулю при Время же, в течение которого происходит «падение» заряда в начало координат, конечно. Убедиться в этом можно, замечая, что зависимость координаты от времени определяется равенством ; подставляя сюда (39,3), увидим, что время определяется интегралом, сходящимся при .

Задачи

1. Определить угол отклонения заряда, пролетающего в кулоновом поле отталкивания

Решение. Угол отклонения равен где — угол между двумя асимптотами траектории (39,4). Находим:

где — скорость заряда на бесконечности.

2. Определить эффективное сечение рассеяния на малые углы при рассеянии частиц кулоновым полем.

Решение. Эффективное сечение есть отношение числа частиц, рассеянных (в 1 с) в данный элемент телесного угла, к плотности рассеиваемого потока частиц (т. е. к числу частиц, проходящих в 1 с через плойиди поперечного сечения пучка частиц).

Поскольку угол отклонения частицы при ее пролете через поле определяется «прицельным расстоянием» (т. е. расстоянием от центра до прямой, по которой двигался бы заряд в отсутствие поля), то

где (см. I § 18). Угол отклонения (если он мал) можно считать равным отношению приращения импульса к его первоначальному значению. Приращение импульса равно интегралу по времени от силы, действующей на заряд в направлении, перпендикулярном к направлению движения; последняя приближенно равна у. Таким образом, имеем:

(v — скорость частиц). Отсюда находим эффективное сечение для малых :

В нерелятивистском случае и это выражение совпадает С получающимся по формуле Резерфорда при малых х (см. I § 19).