§ 94. Тензор энергии-импульса

В § 32 было получено общее правило для вычисления тензора энергии-импульса любой физической системы, действие которой представлено в виде интеграла (32,1) по 4-пространству. В криволинейных координатах этот интеграл должен быть написан в виде

(в галилеевых координатах и S переходит в ).

Интегрирование производится по всему (трехмерному) пространству и по времени между двумя заданными моментами, т. е. по бесконечной области 4-пространства, заключенной между двумя гиперповерхностями.

Как уже было указано в § 32, тензор энергии-импульса, определенный по формуле (32,5), не является, вообще говоря, симметричным, каким он должен быть. Для того чтобы сделать его симметричным, необходимо было прибавить к выражению (32,5) надлежащим образом подобранный член вида причем

Мы дадим теперь другой способ вычисления тензора энергии-импульса, обладающий тем преимуществом, что он сразу приводит к симметричному выражению.

Произведем в (94,1) преобразование от координат к координатам где — малые величины. При этом преобразовании компоненты преобразуются согласно формулам

Тензор является здесь функцией от а тензор функцией прежних координат . Для того чтобы представить все члены в виде функций от одних и тех же переменных, разложим по степеням Далее, пренебрегая членами высшего порядка по , мы можем в членах, содержащих написать вместо . Таким образом, находим:

Легко убедиться путем непосредственной проверки, что последние три члена справа могут быть написаны в виде суммы контравариантных производных от Таким образом, находим окончательно преобразование в виде

Для ковариантных компонент имеем при этом:

(так, чтобы с точностью до величин первого порядка малости соблюдалось условие )

Поскольку действие S есть скаляр, то при преобразовании координат оно не меняется. С другой стороны, изменение 55 действия при преобразовании координат можно написать в следующем виде. Пусть, как и в § 32, q обозначают величины, определяющие ту физическую систему, к которой относится действие S. При преобразовании координат величины q меняются на При вычислении 65 можно, однако, не писать членов, связанных с изменениями q. Все эти члены все равно взаимно сокращаются в силу «уравнений движения» физической системы, поскольку эти уравнения как раз и получаются путем приравнивания нулю вариации S по величинам q. Поэтому достаточно писать только члены, связанные с изменением

Воспользовавшись, как обычно, теоремой Гаусса и полагая на границах интегрирования находим в виде

Введем теперь обозначение

тогда примет вид

(замечаем, что и потому ). Подставляя сюда для выражение (94,2), имеем, воспользовавшись симметрией тензора :

Далее преобразуем это выражение следующим образом

Первый интеграл с помощью (86,9) может быть написан в виде

и преобразован в интеграл по гиперповерхности.

Поскольку на границах интегрирования g обращаются в нуль, то этот интеграл исчезает. Таким образом, приравнивая нулю, находим:

Ввиду произвольности отсюда следует, что

Сравнивая это уравнение с уравнением (32,4) , имевшим место в галилеевых координатах, мы видим, что тензор , определяемый формулой (94,4), должен быть отождествлен с тензором энергии-импульса, — по крайней мере с точностью до постоянного множителя. Что этот множитель равен единице, легко проверить, производя, например, вычисление по формуле (94,4) для случая электромагнитного поля, когда

Таким образом, формула (94,4) дает возможность вычислить тензор энергии-импульса путем дифференцирования Л по компонентам метрического тензора (и их производным). При этом тензор получается сразу в явно симметричном виде. Формула (94,4) удобна для вычисления тензора энергии-импульса не только в случае наличия гравитационного поля, но и при его отсутствии, когда метрический тензор не имеет самостоятельного смысла и переход к криволинейным координатам производится формально как промежуточный этап при вычислении .

Выражение (33,1) для тензора энергии-импульса электромагнитного поля должно быть написано в криволинейных координатах в виде

Для макроскопических же тел тензор энергии-импульса равен (ср. (35,2)):

Отметим, что компонента всегда положительна:

(94,10)

(смешанная же компонента не имеет, вообще говоря, определенного знака).

Задача

Рассмотреть возможные типы приведения к каноническому виду симметричного тензора второго ранга.

Решение. Приведение симметричного тензора к главным осям означает нахождение таких «собственных векторов» пдля которых

Соответствующие главные значения X получаются как корни уравнения 4-й степени

и являются инвариантами тензора. Как величины к, так и соответствующие им собственные векторы могут оказаться комплексными. (Компоненты же самого тензора предполагаются, разумеется, вещественными.)

Из уравнений (1) легко показать обычным путем, что два вектора соответствующих двум различным главным значениям и , взаимно ортогональны:

В частности, если уравнение (2) имеет комплексно-сопряженные корни , которым соответствуют комплексно-сопряженные векторы то должно быть

Тензор выражается через свои главные значения и соответствующие собственные векторы формулой

(если только какое-либо из не равно нулю — см. ниже).

В зависимости от характера корней уравнения (2) могут иметь место следующие три различных случая.

I) Все четыре главных значения к вещественны. При этом вещественны также и векторы а поскольку все они взаимно ортогональны, то три из них должны иметь пространственное, а один — временное направление (их можно нормировать соответственно условиями ). брав направления осей координат вдоль этих векторов, приведем тензор к виду

II) Уравнение (2) имеет два вещественных и два комплексно-сопряженных корня. Комплексно-сопряженные векторы соответствующие двум последним корням, напишем в виде поскольку они определены лишь с точностью до произвольного комплексного множителя, можно нормировать их условием

Учитывая также (4), найдем для вещественных векторов условия:

откуда т. е. один из этих векторов имеет временное, а другой — пространственное направление. Выбрав координатные оси вдоль векторов приведем (согласно (5)), тензор к виду

III) Если квадрат одного из векторов я равен нулю то этот вектор не может быть выбран в качестве направления координатной оси. Можно, однако, выбрать одну из плоскостей так, чтобы вектор лежал в ней. Пусть это будет плоскость Тогда из следует, что и из уравнений (1) имеем:

откуда

где — неинвариантная величина, меняющаяся при поворотах в плоскости должным поворотом она всегда может быть сделана вещественной. Выбирая оси по двум другим (пространственным) векторам приведем тензор к виду

Этот случай соответствует равенству двух корней уравнения (2).

Отметим, что для физического тензора энергии-импульса вещества, движущегося со скоростями; меньшими скорости света, может иметь место лишь первый случай; это связано с тем, что всегда должна существовать такая система отсчета, в которой поток энергии вещества, т. е. компоненты равен нулю. Для тензора же энергии импульса электромагнитных волн имеет место третий случай с стр. 115); можно показать, что в противном случае существовала бы система отсчета, в которой поток энергии превышал умноженную на с ее плотность.