§ 51. Разложение электростатического поля

Поле, созданное зарядами, тоже можно формально разложить по плоским волнам (в интеграл Фурье). Это разложение, однако, существенно отличается от разложения электромагнитных волн в пустоте. Действительно, поле зарядов не удовлетворяет однородному волновому уравнению, а потому и каждый член разложения поля не удовлетворяет этому уравнению. Отсюда следует, что для плоских волн, на которые можно разложить поле зарядов, не выполняется соотношение которое имеет место для плоских монохроматических электромагнитных волн.

В частности, если формально представить электростатическое поле в виде наложения плоских волн, то «частота» этих волн будет равна нулю, так как рассматриваемое поле не зависит от времени; волновые же векторы, конечно, отличны от нуля.

Рассмотрим поле, создаваемое точечным зарядом , находящимся в начале координат. Потенциал этого поля определяется уравнением (см. § 36)

Разложим в пространственный интеграл Фурье, т. е. представим его в виде

(51,2)

При этом

Применив к обеим частям равенства (51,2) оператор Лапласа, находим:

так что компонента Фурье от выражения есть

С другой стороны, можно найти взяв компоненту Фурье от обеих частей уравнения (51,1):

Сравнивая оба полученных выражения, находим:

Эта формула и решает поставленную задачу.

Аналогично потенциалу можно разложить и напряженность;

С помощью (51,2) имеем:

Сравнивая с (51,4), находим:

Отсюда видно, что поле волн, на которое мы разложили кулоново поле, направлено по волновому вектору. Поэтому эти волны можно назвать продольными.