§ 63. Потенциалы Лиенара — Вихерта

Определим потенциалы поля, создаваемого одним точечным зарядом, совершающим заданное движение по траектории

Согласно формулам запаздывающих потенциалов поле в точке наблюдения в момент времени t определяется состоянием движения заряда в предшествующий момент времени t, для которого время распространения светового сигнала из точки нахождения заряда в точку наблюдения Р как раз совпадает с разностью . Пусть — радиус-вектор от заряда в точку вместе с он является заданной функцией времени. Тогда момент f определяется уравнением

Для каждого значения t это уравнение имеет всего один корень .

В системе отсчета, в которой в момент времени t частица покоится, поле в точке наблюдения в момент t дается просто кулоновским потенциалом, т. е.

Выражения для потенциалов в произвольной системе отсчета мы получим теперь, написав такой -вектор, который бы при скорости v = 0 давал для и А значения (63,2). Замечая, что согласно (63,1) из (63,2) можно написать также и в виде

находим, что искомый 4-вектор есть

где — 4-скорость заряда, а 4-вектор , причем х, у, z, t связаны друг с другом соотношением (63,1); последнее может быть записано в инвариантном виде как

Переходя теперь снова к трехмерным обозначениям, получим для потенциалов поля, создаваемого произвольно движущимся точечным зарядом, следующие выражения:

где R — радиус-вектор, проведенный из точки нахождения заряда в точку наблюдения Р, и все величины в правых частях равенств должны быть взяты в момент времени t, определяющийся из (63,1). Потенциалы поля в виде (63,5) называются потенциалами Лиенара — Вихерта.

Для вычисления напряженностей электрического и магнитного полей по формулам

надо дифференцировать и А по координатам точки и моменту наблюдения. Между тем формулы (63,5) выражают потенциалы как функции от и лишь через соотношение (63,1) — как неявные функции от х, у, z, t. Поэтому для вычисления искомых производных надо предварительно вычислить производные от t. Дифференцируя соотношение по t, имеем:

(значение получается дифференцированием тождества и подстановкой ); знак минус здесь связан с тем, что R есть радиус-вектор от заряда в точку Р, а не наоборот).

Отсюда

Аналогично, дифференцируя то же соотношение по координатам, найдем:

откуда

С помощью этих формул не представляет труда вычислить поля Е и Н. Опуская промежуточные вычисления, приведем получающийся результат:

Здесь величины в правых сторонах равенств берутся в момент t. Интересно отметить, что магнитное поле оказывается везде перпендикулярным к электрическому.

Электрическое поле (63,8) состоит из двух частей различного характера. Первый член зависит только от скорости частицы (но не от ее ускорения) и на больших расстояниях меняется как Второй член зависит от ускорения, а при больших R меняется как 1/R. Мы увидим ниже (§ 66), что этот последний член связан с излучаемыми частицей электромагнитными волнами.

Что касается первого члена, то, будучи независимым от ускорения, он должен соответствовать полю, создаваемому равномерно движущимся зарядом. Действительно, при постоянной скорости разность

есть расстояние от заряда до, точки наблюдения в самый момент наблюдения.

Легко также убедиться непосредственной проверкой в том, что

где — угол между R и v. В результате первый член в (63,8) оказывается совпадающим с выражением (38,8).

Задача

Вывести потенциалы Лиенара — Вихерта путем интегрирования в формулах (62,9-10).

Решение, Напишем формулу (62,8) в виде

(и аналогично для ), введя в нее лишнюю -функцию и тем самым избавившись от неявных аргументов в функции . Для точечного заряда, движущегося по заданной траектории , имеем:

Подставив это выражение и произведя интегрирование по , получим;

Интегрирование по производится с помощью формулы

(где — корень уравнения ) и приводит к формуле (63,5).