ГЛАВА VII. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА

§ 53. Геометрическая оптика

Плоская волна отличается, тем свойством, что направление ее распространения и амплитуда везде одинаковы. Произвольные электромагнитные волны этим свойством, конечно, не обладают.

Однако чаето электромагнитные волны, не являющиеся плоскими, тем не менее таковы, что их можна рассматривать как шшекие в каждом небольшом участке пространства. Для этого необходимо, чтобы амплитуда и направление волны почти не менялись на протяжении расстояний порядка длины волны.

Если выполнено это условие, то можно ввеети так называемые волновые поверхности, во всех точках которых фаза волны в данный момент времени одинакова (для плоской волны это — плоскости, перпендикулярные к направлению ее распространения). В каждом небольшом участке пространства можно говорить о направлении распространения волны, нормальном к волновой поверхности. При этом можно ввести понятие лучей — линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.

Изучение законов распространения волн в этом случае составляет предмет геометрической оптики. Геометрическая оптика рассматривает, следовательно, распространение электромагнитных волн, в частности света, как распространение лучей, совершенно отвлекаясь при этом от их волновой природы. Другими словами, геометрическая оптика соответствует предельному случаю малых длин волн,

Займемся теперь выводом основного уравнения геометрической оптики — уравнения, определяющего направление лучей. Пусть f есть любая величина, описывающая поле волны (любая из компонент Е или Н). В плоской монохроматической волне имеет вид

опускаем знак Re; везде подразумевается вещественная часть).

Напишем выражение для поля в виде

В случае, когда волна не плоская, но геометрическая оптика применима, амплитуда а является, вообще говоря, функцией координат и времени, а фаза , называемая также эйконалом, не имеет простого вида, как в (53,1). Существенно, однако, что эйконал является большой величиной. Это видно уже из того, что он меняется на на протяжении длины волны, а геометрическая оптика соответствует пределу .

В малых участках пространства и интервалах времени эйконал можно разложить в ряд; с точностью до членов первого порядка имеем:

(начало координат и начало отсчета времени выбраны в рассматриваемом участке пространства и интервале времени; значения производных берутся в начале координат). Сравнивая это выражение с (53,1), мы можем написать:

в соответствии с тем, что в каждом небольшом участке пространства (и в небольших интервалах времени) волну можно рассматривать как плоскую. В четырехмерном виде соотношения (53,3) напишутся как

где — волновой 4-вектор.

Мы видели в § 48, что компоненты 4-вектора связаны соотношением . Подставляя сюда (53,4), находим уравнение:

Это уравнение, называемое уравнением эйконала, является основным уравнением геометрической оптики.

Уравнение эйконала можно вывести также и непосредственным предельным переходом в волновом уравнении. Поле f удовлетворяет волновому уравнению

Подставляя сюда , находим:

Но эйконал , как было выше указано, есть большая величина; поэтому можно пренебречь здесь тремя первыми членами по сравнению с четвертым, и мы приходим снова к уравнению (53,5).

Укажем еще некоторые соотношения, которые, правда, в применении к распространению света в пустоте приводят лишь к заранее очевидным результатам. Существенно, однако, что в своей общей форме эти выводы применимы и к распространению света в материальных средах.

Из формы уравнения эйконала вытекает замечательная аналогия между геометрической оптикой и механикой материальных частиц. Движение материальной частицы определяется уравнением Гамильтона — Якоби (16,11). Это уравнение, как и уравнение эйконала, является уравнением в частных производных первого порядка и второй степени. Как известно, действие S связано с импульсом и функцией Гамильтона частицы соотношениями

Сравнивая эти формулы с формулами (53,3), мы видим, что волновой вектор волны играет в геометрической оптике роль импульса частицы в механике, а частота — роль функции Гамильтона, т. е. энергии частицы. Абсолютная величина k волнового вектора связана с частотой посредством формулы . Это соотношение аналогично соотношению между импульсом и энергией частицы с массой, равной нулю, и скоростью, равной скорости света.

Для частиц имеют место уравнения Гамильтона

Ввиду указанной аналогии мы можем непосредственно написать подобные уравнения для лучей:

В пустоте , так что единичный вектор вдоль направления распространения), т. е., как и следовало, в пустоте лучи являются прямыми линиями, вдоль которых свет распространяется со скоростью с.

Аналогия между волновым вектором волны и импульсом частицы в особенности ясно проявляется в следующем обстоятельстве. Рассмотрим волну, представляющую собой наложение монохроматических волн с частотами, лежащими в некотором небольшом интервале и занимающую некоторую конечную область пространства (так называемый волновой пакет).

Вычислим -импульс поля этой волны, воспользовавшись формулой (32,6) с тензором энергии-импульса (48,15) (для каждой монохроматической компоненты). Заменяя в этой формуле некоторым его средним значением, получим выражение вида

где коэффициент пропорциональности А между двумя 4-векторами есть некоторый скаляр. В трехмерном виде это соотношение дает:

Таким образом, мы видим, что импульс и энергия волнового пакета преобразуются от одной системы отсчета к другой соответственно как волновой вектор и частота.

Продолжая аналогию, можно установить для геометрической оптики принцип, аналогичный принципу наименьшего действия в механике. Однако его при этом нельзя будет написать в гамильтоновой форме, б так как оказывается невозможным ввести для лучей функцию, аналогичную функции Лагранжа для частиц. Действительно, функция Лагранжа L частицы связана с функцией Гамильтона посредством .

Заменяя функцию Гамильтона частотой , а импульс — волновым вектором k, мы должны были бы написать для функции Лагранжа в оптике к . Но это выражение равно нулю, поскольку . Невозможность введения функции Лагранжа для лучей видна, впрочем, и непосредственно из указанного выше обстоятельства, что распространение лучей аналогично движению частиц с массой, равной нулю.

Если волна обладает определенной постоянной частотой , то зависимость ее поля от времени определяется множителем вида . Поэтому для эйконала такой волны мы можем написать:

(53,10)

где — функция только от координат. Уравнение эйконала (53,5) принимает теперь вид

(53,11)

Волновые поверхности являются поверхностями постоянного эйконала, т. е. семейством поверхностей вида . Лучи же в каждой точке нормальны к соответствующей волновой мверхнести; их направление определяется градиентом .

Как известно, в случае, когда энергия постоянна, принцип наименьшего действия для частицы можно нанимать также и в виде так называемого принципа Мопертюи:

где интегрирование производится по траектории частицы между двумя заданными ее положениями. Импульс предполагается при этом выраженным как функция от энергии и координат частицы. Аналогичный принцип для лучей называется принципом Ферма. В этом случае мы можем написать по аналогии:

В пустоте и мы получаем :

(53,13)

что и соответствует прямолинейному распространению лучей.