§ 98. Тетрадное представление уравнений Эйнштейна

Определение компонент тензора Риччи (и тем самым составление уравнений Эйнштейна) для метрики того или иного специального вида связано, вообще говоря, с довольно громоздкими вычислениями. Поэтому приобретают значение различные формулы, позволяющие в некоторых случаях упростить эти вычисления и представить результат в более обозримом виде.

К числу таких формул относится выражение тензора кривизны в так называемом тетрадном виде.

Введем совокупность четырех линейно-независимых реперных -векторов (нумеруемых индексом а), подчиненных лишь требованию

где — заданная постоянная симметричная матрица с сигнатурой ; матрицу, обратную матрице обозначим посредством . Наряду с четверкой (тетрадой) векторов введем также четверку взаимных с ними векторов (нумеруемых верхними реперными индексами), определенных условиями

(98,2)

т. е. каждый из векторов ортогонален трем векторам . Умножив равенство (98,2) на получим откуда видно, что наряду с (98,2) автоматически выполняются также и равенства

Умножив равенство с обеих сторон на , получим:

сравнив с (98,2), находим, что

Таким образом, поднимание и опускание реперных индексов осуществляется матрицами

Значение введенных таким образом реперных векторов состоит в том, что через них может быть выражен метрический тензор.

Действительно, согласно определению связи между контравариантными компонентами -вектора имеем умножив это равенство на и использовав (98,3) в (98,4), найдем:

Квадрат элемента интервала с метрическим тензором (98,5) принимает вид

Что касается произвольно задаваемой матрицы то наиболее естественный ее выбор — в «галилеевой» форме (т. е. диагональная матрица с элементами 1, —1, —1, —1); при этом реперные векторы, согласно (98,1), взаимно ортогональны, причем один из них времениподобен, а три других — пространственноподобны. Подчеркнем, однако, что такой выбор отнюдь не обязателен и возможны ситуации, когда по тем или иным причинам (например, по свойствам симметрии метрики) целесообразен выбор неортогональной тетрады.

Тетрадные компоненты 4-вектора (и аналогично для 4-тензоров любого ранга) определяются как его «проекции» на реперные 4-векторы:

Обратно:

Таким же образом определим операцию дифференцирования «вдоль направления а»:

Введем нужные для дальнейшего величины

г их линейные комбинации

(98,10)

Последнее равенство в (98,10) следует из (86,12); отметим, что величины вычисляются простым дифференцированием реперных векторов.

Обратное выражение через

(98,11)

Эти величины обладают свойствами симметрии:

Наша цель состоит в определении тетрадных компонент тензора кривизны. Для этого надо исходить из определения (91,6), примененного к ковариантным производным реперных векторов:

или

Это выражение легко выразить через величины . Пишем

a после следующего ковариантного дифференцирования производные от реперных векторов снова выражаются таким же образом; при этом ковариантная производная от скалярной величины уаьс совпадает с ее простой производной. В результате получается:

(98,13)

где в соответствии с общим правилом и т. п.

Упрощение этого тензора по паре индексов а, с дает искомые тетрадные компоненты тензора Риччи; приведем их выраженными уже через величины

Наконец, обратим внимание на то, что изложенные построения по существу никак не связаны с четырехмерностью метрики. Поэтому полученные результаты могут быть применены и к вычислению трехмерных тензоров Римана и Риччи по трехмерной метрике. При этом, естественно, вместо тетрады реперных 4-векторов мы будем иметь дело с триадой трехмерных векторов, а матрица должна иметь сигнатуру (мы встретимся с таким применением в § 116).