§ 82. Гравитационное поле в релятивистской механике

Основное свойство гравитационных полей, — что все тела движутся в них одинаковым образом, — остается в силе и в релятивистской механике. Остается, следовательно, и аналогия между гравитационными полями и неинерциальными системами отсчета. Поэтому естественно при изучении свойств гравитационных полей в релятивистской механике тоже исходить из этой аналогии.

В инерциальной системе отсчета в декартовой системе координат интервал ds определяется формулой

При переходе к любой другой инерциальной системе отсчета (т. е. при преобразовании Лоренца) интервал, как мы знаем, сохраняет тот же самый вид. Однако, если перейдем к неинерциальной системе отсчета, то уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат.

Так, при переходе к равномерно вращающейся системе координат

( — угловая скорость вращения, направленная вдоль оси ) интервал приобретает вид

По какому бы закону ни преобразовывалось время, это выражение не может быть приведено к сумме квадратов дифференциалов четырех координат.

Таким образом, в неинерциальной системе отсчета квадрат интервала является некоторой квадратичной формой общего вида от дифференциалов координат, т. е. имеет вид

(82,1)

где — некоторые функции пространственных координат и временной координаты . Четырехмерная система координат является, таким образом, при пользовании неиверциальными системами отсчета криволинейной. Величины определяя все свойства геометрии в каждой данной криволинейной системе координат, устанавливают, как говорят, метрику пространства-времени.

Величины можно, очевидно, всегда считать симметричными по индексам , поскольку они определяются из симметричной формы (82,1), куда и входят помноженными на одно и то же произведение .

В общем случае имеется, следовательно, всего 10 различных величин четыре с одинаковыми и 4•3/2 = 6 с различными индексами. В инерциальной системе отсчета при пользовании декартовыми пространственными координатами и временем величины равны

Систему координат (четырехмерную) с этими значениями g, мы будем называть галилеевой.

В предыдущем параграфе было показано, что неинерциальные системы отсчета эквивалентны некоторым силовым полям. Мы видим теперь, что в релятивистской механике эти поля определяются величинами .

То же самое относится и к «истинным» гравитационным полям. Всякое гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, соответственно чему оно определяется величинами . Это важнейшее обстоятельство означает, что геометрические свойства пространства-времени (его метрика) определяются физическими явлениями, а не являются неизменными свойствами пространства и времени.

Теория гравитационных полей, построенная на основе теории относительности, носит название общей теории относительности. Она была создана Эйнштейном (и окончательно сформулирована им в 1915 г.) и является; пожалуй, самой красивой из существующих физических теорий. Замечательно, что она была построена Эйнштейном чисто дедуктивным путем и лишь в дальнейшем была подтверждена астрономическими наблюдениями.

Как и в нерелятивистской механике, между «истинными» гравитационными полями и полями, которым эквивалентны неинерциальные системы отсчета, имеется коренное отличие. При переходе к неинерциальной системе отсчета квадратичная форма имеет вид (82,1), т. е. величины получаются из их галилеевых значений (82,2) преобразованием координат, а потому обратным преобразованием могут быть снова приведены во всем пространстве к галилеевым значениям. То, что такой вид является лишь весьма специальным, видно уже из того, что преобразованием всего лишь четырех координат нельзя, в общем случае, привести десять величин к наперед заданному виду.

Истинное гравитационное поле не может быть исключено никаким преобразованием координат. Другими словами, при наличия гравитационного поля пространство-время таково, что оаределяющие его метрику величины никаким преобразованием координат не могут быть приведены во всем пространстве к их галилееву виду. Такое пространство-время называют кривым в отличие от плоского, в котором указанное приведение возможно.

Надлежащим преобразованием координат можно, однако, привести к галилееву виду в любой отдельной точке негалилеева пространства-времени: это сводится к приведению к диагональному виду квадратичной формы с постоянными коэффициентами (значения в данной точке). Такую систему координат мы будем называть галилеевой для данной точки.

Заметим, что, будучи приведенной в данной точке к диагональному виду, матрица величин имеет одно положительное и три отрицательных главных значения (совокупность этих знаков называют сигнатурой матрицы). Отсюда следует, в частности, что определитель g, составленный из величин в реальном пространстве-времени всегда отрицателен:

Изменение метрики пространства-времени означает также и изменение чисто пространственной метрики. Галилеевым в плоском пространстве-времени соответствует евклидова геометрия пространства. В гравитационном же поле геометрия пространства становится неевклидовой. Это относится как к «истинным» гравитационным полям, в которых пространство-время «искривлено», так и к полям, возникающим лишь от неинерциальности системы отсчета и сохраняющим пространство-время плоским.

Вопрос о пространственной геометрии в гравитационном поле будет рассмотрен более подробно в § 84. Здесь же полезно привести простое рассуждение, наглядно иллюстрирующее неизбежность возникновения неевклидовости пространства при переходе к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим две системы отсчета, из которых одна (К) инерциальна, а другая равномерно вращается относительно К вокруг общей оси . Окружность в плоскости ху системы К (с центром в начале координат) может рассматриваться и как окружность в плоскости ху системы К. Измеряя длину окружности и ее диаметр масштабной линейкой в системе К, мы получим значения, отношение которых равно я, в соответствии с евклидовостью геометрии в инерциальной системе отсчета. Пусть теперь измерение производится неподвижным относительно К масштабом. Наблюдая за этим процессом из системы К, мы найдем, что масштаб, приложенный вдоль окружности, претерпевает лоренцево сокращение, а радиально приложенный масштаб не меняется. Ясно поэтому, что отношение длины окружности к ее диаметру, полученное в результате такого измерения, окажется больше .

В общем случае произвольного переменного гравитационного поля метрика пространства не только неевклидова, но еще и меняется со временем. Это значит, что меняются со временем соотношения между различными геометрическими расстояниями. В результате взаимное расположение внесенных в поле «пробных частиц» ни в какой системе координат не может оставаться неизменным. Так, если частицы расположены вдоль какой-либо окружности и вдоль ее диаметра, то поскольку отношение длины окружности к длине диаметра не равно g и меняется со временем, ясно, что если расстояния частиц вдоль диаметра остаются неизменными, то должны изменяться расстояния вдоль окружности, и наоборот. Таким образом, в общей теории относительности, вообще говоря, невозможна взаимная неподвижность системы тел.

Это обстоятельство существенно меняет само понятие системы отсчета в общей теории относительности по сравнению с тем смыслом, который оно имело в специальной теории. В последней под системой отсчета понималась совокупность покоящихся друг относительно друга, неизменным образом взаимно расположенных тел. При наличии переменного гравитационного поля таких систем тел не существует и для точного определения положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря, иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все пространство, наподобие некоторой «среды». Такая система тел вместе со связанными с каждым из них произвольным образом идущими часами и является системой отсчета в общей теории относительности.

В связи с произвольностью выбора системы отсчета законы природы должны записываться в общей теории относительности в виде, формально пригодном в любой четырехмерной системе координат (или, как говорят, в ковариантном виде). Это обстоятельство, однако, разумеется не означает физической эквивалентности всех этих систем отсчета (подобной физической эквивалентности всех инерциальных систем отсчета в специальной теории). Напротив, конкретный вид физических явлений, в том числе свойства движения тел, во всех системах отсчета становится различным.