ГЛАВА XI. УРАВНЕНИЯ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

§ 91. Тензор кривизны

Вернемся снова к понятию о параллельном переносе вектора. Как было указано в § 85, в общем случае кривого 4-пространства бесконечно малый параллельный перенос вектора определяется как перенос, при котором компоненты вектора не меняются в системе координат, галилеевой в Данном бесконечно малом элементе объема.

Если есть параметрическое уравнение некоторой кривой (s — длина дуги, отсчитываемая от некоторой точки), то вектор есть единичный вектор, касательный к кривой. Если рассматриваемая кривая является геодезической, то вдоль нее . Это значит, что если вектор подвергнуть параллельному переносу из точки х на геодезической линии в точку на той же линии, то он совпадает с вектором и , касательным к линии в точке . Таким образом, при передвижении вдоль геодезической линии вектор касательной переносится параллельно самому себе.

С другой стороны, при параллельном переносе двух векторов «угол» между ними остается, очевидно, неизменным. Поэтому мы можем сказать, что при параллельном переносе любого вектора вдоль какой-либо геодезической линии угол между этим вектором и касательной к линии остается неизменным. Другими словами, при параллельном переносе вектора его составляющие по геодезическим линиям во всех точках пути должны быть неизменными.

Весьма существенно, что в кривом пространстве параллельный перенос вектора из одной заданной точки в другую дает разные результаты, если он совершается по разным путям. В частности, отсюда следует, что если переносить вектор параллельно самому себе по некоторому замкнутому контуру, то он, возвратившись в первоначальную точку, не совпадет с самим собой.

Для того чтобы уяснить это, рассмотрим двухмерное искривленное пространство, т. е. какую-нибудь кривую поверхность. На рис. 19 изображен кусок такой поверхности, ограниченный тремя геодезическими линиями. Подвергнем вектор 1 параллельному переносу вдоль контура, образованного этими линиями.

При передвижении вдоль линии АВ вектор , сохраняя все время одинаковый угол с этой линией, перейдет в вектор 2. При передвижении вдоль ВС он таким же образом перейдет в 3. Наконец, при движении из С в А вдоль кривой СА, сохраняя постоянный угол с этой кривой, рассматриваемый вектор перейдет в , не совпадающий с вектором .

Выведем общую формулу, определяющую изменение вектора при параллельном переносе вдоль бесконечно малого замкнутого контура. Это изменение можно записать в виде , где интеграл берется по данному контуру. Подставляя вместо выражение (85,5), имеем:

стоящий под интегралом вектор меняется по мере его переноса вдоль контура.

Рис. 19

Для дальнейшего преобразования этого интеграла необходимо заметить следующее. Значения вектора в точках внутри контура неоднозначны — они зависят от пути, по которому мы приходим в данную точку. Мы увидим, однако, из получаемого ниже результата, что эта неоднозначность второго порядка малости. Поэтому с достаточной для преобразования точностью до величин первого порядка можно считать компоненты вектора Л; в точках внутри бесконечно малого контура однозначно определяющимися их значениями на самом контуре по формулам , т. е. по производным

Применяя теперь к интегралу (91,1) теорему Стокса (6,19) и учитывая, что площадь огибаемой рассматриваемым контуром поверхности есть бесконечно малая величина , получим:

Подставляя сюда значения производных из (91,2), находим окончательно:

где — тензор 4-го ранга:

Тензорный характер виден из того, что в (91,3) слева стоит вектор — разность значений вектора в одной и той же точке. Тензор называется тензором кривизны или тензором Римана.

Легко получить аналогичную формулу для контравариантного вектора . Для этого заметим, что поскольку при параллельном переносе скаляры не меняются, то , где — любой ковариантный вектор. С помощью (91,3) имеем отсюда:

или, ввиду произвольности вектора В:

Если дважды ковариантно продифференцировать вектор по и по , то результат зависит, вообще говоря, от порядка дифференцирования, в противоположность тому, что имеет место для обычных производных. Оказывается, что разность определяется тем же тензором кривизны, который мы ввели выше. Именно, имеет место формула

которую легко проверить непосредственным вычислением в локально-геодезической системе координат. Аналогично, для контравариантного вектора

Наконец, легко получить аналогичные формулы для вторых производных от тензоров (это проще всего сделать, рассматривая, например, тензор вида и пользуясь при этом формулами (91,6-7); полученные таким образом формулы в силу их линейности имеют место для любого тензора . Так,

Очевидно, что в плоском 4-пространстве тензор кривизны равен нулю. Действительно, в плоском пространстве можно выбрать координаты, в которых везде все а потому и .

В силу тензорного характера эти величины равны тогда нулю и в любой другой системе координат. Это соответствует тому, что в плоском пространстве параллельный перенос вектора из одной точки в другую есть однозначная операция, а при обходе замкнутого контура вектор не меняется.

Имеет место и обратная теорема: если то 4-пространство плоское. Действительно, во всяком пространстве можно выбрать систему координат, галилееву в данном бесконечно малом участке. При параллельный перенос есть однозначная операция, и, перенося таким образом галилееву систему из данного малого участка во все остальные, можно построить галилееву систему во всем пространстве, чем и доказывается сделанное утверждение.

Таким образом, равенство или неравенство нулю тензора кривизны является критерием, позволяющим определить, является ли 4-пространство плоским или искривленным.

Заметим, что хотя в кривом пространстве и можно выбрать локально-геодезическую (для данной точки) систему координат, но при этом тензор кривизны в этой точке не обращается в нуль (так как производные от не обращаются в нуль вместе с самими ).

Задачи

1. Определить относительное 4-ускорение двух частиц, движущихся по бесконечно близким геодезическим мировым линиям.

Решение. Рассмотрим семейство геодезических линий, отличаемых значениями некоторого параметра v, другими словами, координаты мировой точки выражаются в виде функций таких, что при каждом v = const это есть уравнение геодезической (причем s — длина интервала, отсчитываемого вдоль линии от ее точки пересечения с некоторой заданной гиперповерхностью). Введем 4-вектор

соединяющий на бесконечно близких геодезических (отвечающих значениям параметра v и ) точки с одинаковыми значениями

Из определения ковариаитной производной и равенства следует, что

Рассмотрим вторую производную:

Во втором члене снова используем (1), а в первом меняем порядок ковариантных дифференцирований с помощью (91,7) и находим:

Первый член равен нулю, поскольку вдоль геодезических линий Введя постоянный множитель б у, находим окончательно уравнение;

(его называют уравнением геодезического отклонения).

2. Записать уравнения Максвелла в пустоте для 4-потенциала в лорен девой калибровке.

Решение, Ковариантное обобщение условия (46,9) имеет вид:

Уравнения Максвелла можно, используя формулу (91,7), записать как

из (92,6). Тогда в силу (1):