§ 43. Постоянное магнитное поле
Рассмотрим магнитное поле, создаваемое зарядами, совершающими финитное движение, при котором частицы остаются все время в конечной области пространства, причем импульсы тоже остаются всегда конечными. Такое движение имеет стационарный характер, и представляет интерес рассмотреть среднее (по времени) магнитное поле Н, создаваемое зарядами; это поле будет теперь функцией только от координат, но не от времени, т. е. будет постоянным.
Для того чтобы найти уравнения, определяющие среднее магнитное поле, усредним по времени уравнения Максвелла
Первое из них дает просто
Во втором уравнении среднее значение производной 
, как и вообще производной от всякой величины, меняющейся в конечном интервале, равно нулю (см. примечание на стр. 119). Поэтому второе уравнение Максвелла приобретает вид
(43,2)
Эти два уравнения и определяют постоянное поле Н.
Введем средний векторный потенциал А согласно
Подставив это в уравнение (43,2), получим:
Но мы знаем, что векторный потенциал поля определен неоднозначно, и поэтому на него можно наложить любое дополнительное условие. На этом основании выберем потенциал А так, чтобы
Тогда уравнение, определяющее векторный потенциал постоянного магнитного поля, приобретает вид
Решение этого уравнения легко найти, заметив, что (43,4) вполне аналогично уравнению Пуассона (36,4) для скалярного потенциала постоянного электрического поля, причем вместо плотности заряда 
стоит плотность тока 
По аналогии с решением (36,8) уравнения Пуассона мы можем написать
где R — расстояние от точка наблюдения поля до элемента объема 
В формуле (43,5) можно перейти от интеграла к сумме по зарядам, подставляя вместо j произведение 
и помня, что все заряды точечные. При этом необходимо иметь в виду, что в интеграле (43,5) R является просто переменной интегрирования и потому, конечно, не подвергается усреднению. Если же написать вместо интеграла сумму 
то 
будут радиус-векторами отдельных частиц, меняющимися при движении зарядов. Поэтому надо писать
где усредняется все выражение, стоящее под чертой.
Зная А, можно найти напряженность поля;
Операция rot производится по координатам точки наблюдения. Поэтому rot можно перенести под знак интеграла и при диференцировании считать j постоянным. Применяя известную ормулу
где f и a — любые скаляр и вектор, к произведению 
находим! 
и, следовательно,
(радиус-вектор R направлен из 
в точку наблюдения ноля). Это — так называемый закон Био и Савара.
