§ 28. Четырехмерный вектор тока
Вместо того чтобы рассматривать заряды как точечные, в целях математического удобства часто рассматривают заряд как распределенный в пространстве непрерывным образом. Тогда можно ввести плотность заряда 
так, что dV есть заряд, находящийся в объеме dV; есть, вообще говоря, функция от координат и времени. Интеграл от 
по некоторому объему есть заряд, находящийся в этом объеме.
При этом надо помнить, что в действительности заряды являются точечными, так что плотность 
равна нулю везде, кроме тех точек, где находятся точечные заряды, а интеграл 
должен быть равен сумме тех зарядов, которые находятся в данном объеме. Поэтому 
можно написать с помощью 
-функций в следующем виде:
где сумма берется по всем имеющимся зарядам, а 
— радиус-вектор заряда 
.
Заряд частицы есть, по самому своему определению, величина инвариантная, т. е. не зависящая от выбора системы отсчета.
Напротив, плотность 
не есть инвариант, — инвариантом является лишь произведение 
Умножим равенство 
с обеих сторон на 
Слева стоит 4-вектор (так как 
есть скаляр, 
— 4-вектор). Значит, и справа должен стоять 4-вектор. Но dVdt есть скаляр, а потому 
есть 4-вектор. Этот вектор (обозначим его через 
) носит название 4-вектора плотности тока:
Его три пространственные компоненты образуют трехмерную плотность тока
есть скорость заряда в данной точке. Временная же составляющая 4-вектора (28,2) есть ср. Таким образом,
Полный заряд, находящийся во всем пространстве, равен интегралу dV по всему пространству. Можно написать этот интеграл в четырехмерном виде:
где интегрирование производится по всей четырехмерной гиперплоскости, перпендикулярной к оси х (очевидно, что это и означает интегрирование по всему трехмерному пространству). Вообще интеграл 
взятый по любой гиперповерхности, есть сумма зарядов, мировые линии которых пересекают эту гиперповерхность.
Введем 4-вектор тока в выражение (27,7) для действия и преобразуем второй член в этом выражении. Введя вместо точечных зарядов 
непрерывное распределение с плотностью 
, напишем этот член в виде
заменив сумму по зарядам интегралом по всему объему. Переписав его как
мы видим, что этот член равен
Таким образом, действие S принимает вид
