§ 87. Движение частицы в гравитационном поле

Движение свободной материальной частицы в специальной теории относительности определяется принципом наименьшего действия:

согласно которому частица движется так, что ее мировая линия является экстремальной между двумя заданными мировыми точками, т. е. в данном случае прямой (в обычном трехмерном пространстве этому соответствует прямолинейное равномерное движение).

Движение частицы в гравитационном поле должно определяться принципом наименьшего действия в той же форме (87,1), так как гравитационное поле является не чем иным, как изменением метрики пространства-времени, проявляющимся только в изменении выражения ds через . Таким образом, в гравитационном поле частица движется так, что ее мировая точка перемещается по экстремальной, или, как говорят, по геодезической линии в 4-пространстве поскольку, однако, при наличии гравитационного поля пространство-время негалилеево, то эта линия не «прямая», а реальное пространственное движение частицы — не равномерно и не прямолинейно.

Вместо того чтобы снова исходить непосредственно из принципа наименьшего действия (см. задачу к этому параграфу), проще найти уравнения движения частицы в гравитационном поле путем соответствующего обобщения дифференциальных уравнений свободного движения частицы в специальной теории относительности, т. е. в галилеевой 4-системе координат. Эти уравнения гласят , или иначе , где есть 4-скорость. Очевидно, что в криволинейных координатах это уравнение обобщается в

Из выражения (85,6) для ковариантного дифференциала вектора имеем:

Разделив это уравнение на ds, находим:

Это и есть искомые уравнения движения. Мы видим, что движение частицы в гравитационном поле определяется величинами . Производная ( есть 4-ускорение частицы. Поэтому мы можем назвать величину — «4-силой», действующей на частицу в гравитационном поле. Тензор играет при этом роль «потенциалов» гравитационного поля — его производные определяют «напряженность» поля .

В § 85 было показано, что соответствующим выбором системы координат всегда мождо обратить все в нуль в любой заданной точке пространства-времени. Мы видим теперь, что выбор такой локально-инерциальной системы отсчета означает исключение гравитационного поля в данном бесконечно малом элементе пространства-времени, а возможность такого выбора есть выражение принципа эквивалентности в релятивистской теории тяготения.

4-импульс частицы в гравитационном поле определяется по-прежнему как

а его квадрат равен

Подставив сюда — вместо , найдем уравнение Гамильтона—Якоби для частицы в гравитационном поле:

Для распространения светового сигнала уравнение геодезической линии в форме (87,3) неприменимо, так как вдоль мировой линии распространения светового луча интервал и все члены в уравнении (87,3) обращаются в бесконечность.

Для придания уравнениям движения в этом случае нужного вида воспользуемся тем, что направление распространения луча света в геометрической оптике определяется волновым вектором, касательным к лучу. Мы можем поэтому написать четырехмерный волновой вектор в виде , где k есть некоторый параметр, меняющийся вдоль луча. В специальной теории относительности при распространении света в пустоте волновой вектор не меняется вдоль луча, т. е. (см. § 53). В гравитационном поле это уравнение переходит в , или

(из этих же уравнений определится и параметр ).

Квадрат волнового -вектора равен нулю (см. § 48):

Подставляя сюда вместо ( — эйконал), находим уравнение эйконала в гравитационном поле:

В предельном случае малых скоростей релятивистские уравнения движения частицы в гравитационном поле должны перейти в соответствующие нерелятивистские уравнения. При этом надо иметь в виду, что из предположения о малости скоростей вытекает также условие, что само гравитационное поле должно быть слабым; в противном случае находящаяся в нем частица приобрела бы большую скорость.

Выясним, как связан в этом предельном случае метрический тензор с нерелятивистским потенциалом гравитационного поля.

В нерелятивистской механике движение частицы в гравитационном поле определяется функцией Лагранжа (81,1). Мы напишем ее теперь в виде

(87,10)

прибавив постоянную — . Это надо сделать для того, чтобы нерелятивистская функция Лагранжа в отсутствие поля была в точности той, в которую переходит соответствующая релятивистская функция в пределе при .

Нерелятивистское действие S для частицы в гравитационном поле, следовательно, имеет вид

Сравнивая это с выражением мы видим, что в рассматриваемом предельном случае

Возводя в квадрат и опуская члены, обращающиеся при в нуль, находим:

(87,11)

где мы учли, что

Таким образом, компонента метрического тензора в предельном случае равна

(87,12)

Что касается остальных компонент, то из (87,11) следовало бы, что . В действительности, однако, поправки к ним, вообще говоря, того же порядка величины, что и поправка в (см. об этом подробнее в § 106). Невозможность определения этих поправок приведенным выше способом связана с тем, что поправка в имеющая тот же порядок личины, что и поправка в привела бы в функции Лагранжа к членам более высокого порядка малости (вследствие того, что в выражении для компоненты не умножаются на как это имеет место для

Задача

Вывести уравнение движения (87,3) из принципа наименьшего действия (87,1).

Решение. Имеем:

Поэтому

(при интегрировании по частям учтено, что на пределах Во втором члене под интегралом заменим индекс k индексом l. Тогда находим, приравнивая нулю коэффициент при произвольной вариации

Замечая, что третий член можно написать в виде

и вводя символы Кристоффеля согласно (86,2), получаем:

Уравнение (87,3) получается отсюда поднятием индекса l.