§ 11. Распад частиц

Рассмотрим самопроизвольный распад тела массой М на две части с массами Закон сохранения энергии при распаде, применённый в системе отсчета, в которой тело покоится, дает:

где — энергии разлетающихся частей.

Поскольку то равенство (11,1) может выполняться лишь, если т. е. тело может самопроизвольно распадаться на части, сумма масс которых меньше массы тела. Напротив, если то тело устойчиво (по отношению к данному распаду) и самопроизвольно не распадается. Для осуществления распада надо было бы в этом случае сообщить телу извне энергию, равную по крайней мере его «энергии связи» .

Наряду с законом сохранения энергии при распаде должен выполняться законом сохранения импульса, т. е. сумма импульсов разлетающихся частей, как и первоначальный импульс тела, равна нулю: Отсюда или

Для уравнения (11,1) и (11,2) однозначно определяют энергии разлетающихся частей:

В некотором смысле обратным является вопрос о вычислении суммарной энергии М двух сталкивающихся частиц в системе отсчета, в которой их суммарный импульс равен нулю (или, как говорят для краткости, в системе центра инерции или в -системе»). Вычисление этой величины дает критерий, определяющий возможность осуществления различных процессов неупругих столкновений, сопровождающихся изменением состояния сталкивающихся частиц или «рождением» новых частиц. Каждый такой процесс может происходить лишь при условии, что сумма масс всех «продуктов реакции» не превышает М.

Путь в исходной (или, как говорят, лабораторной) системе отсчета частица с массой и энергией сталкивается с покоящейся частицей с массой Суммарная энергия обеих частиц

а суммарный импульс Рассматривая обе частицы вместе как одну сложную систему, мы найдем скорость ее движения как целого согласно (9,8):

Это и есть скорость движения системы относительно лабораторной системы (л-системы).

Однако для определения искомой массы М нет необходимости фактически производить преобразование от одной системы отсчета к другой. Вместо этого можно непосредственно воспользоваться формулой (9,6), применимой к составной системе в такой же мере, как и к каждой частице в отдельности. Таким образом, имеем:

откуда

Задачи

1. Частица, движущаяся со скоростью V, распадается «на лету» на две частицы. Определить связь между углами вылета последних и их энергиями.

Решение. Пусть — энергия одной из распадных частиц в системе (т. е. или из (11.3)), S — энергия этой же частицы в -системе, а — угол ее вылета в -системе (по отношению к направлению V). С помощью формул преобразования (9,15) имеем:

откуда

Для обратного определения по отсюда получается квадратное (относительно S) уравнение

(2)

имеюшее один (если скорость распадной частицы в -системе или два (если положительных корня.

Происхождение последней двузначности ясно из следующего графического построения. Согласно формулам (9,15) компонента импульса в -системе выражается через величины, относящиеся к -системе, следующим образом:

Исключая отсюда получим:

По отношению к переменным это есть уравнение эллипса с полуосями и центром (точка О на рис. 3), смещенным на расстояние от точки (точка А на рис. 3).

Если то точка А лежит вне эллипса (рис. 3, б) и при заданном угле вектор (а с ним и энергия ) может иметь два различных значения. Из построения видно также, что в этом случае угол может принимать лишь значения, не превышающие определенного (отвечающего такому положению вектора , при котором он касателен к эллипсу)

Рис. 3

Значение проще всего определяется аналитически из условия обращения в нуль дискриминанта квадратного уравнения (2) и оказывается равным:

2. Найти распределение раепадных частиц по энергиям в -системе. Решение. В -системе распадные частицы распределены изотропно по направлениям, т. е. доля числа частиц в элементе телесного угла есть

(1)

Энергия в -системе связана с величинами, относящимися к -системе, соотношением

и пробегает значения между

Выражая через получим нормированное на единицу распределение по энергиям (для каждого из двух сортов раепадных частиц):

3. Определить интервал значений, которые может принимать в -системе угол между двумя распадными частицами (угол разлета) при распаде на две одинаковые частицы.

Решение. В системе частицы разлетаются во взаимно противоположных направлениях, так что Связь между углами в и -системах дается согласно (5,4) формулами

(в данном случае ). Искомый угол разлета и для него простое вычисление дает:

Исследование экстремумов этого выражения приводит к следующим интервалам возможных значений :

4. Найти угловое распределение в -системе для раепадных частиц с массой, равной нулю.

Решение. Связь между углами вылета в и -системах для частицы с дается согласно (5,6) формулой

Подставляя это выражение в формулу (1) задачи 2, получим:

5. Найти, распределение по углам разлета в -системе при распаде на две частицы с массами, равными нулю.

Решение. Связь между углами вылет? в -системе и углами в -системе определяется по формулам (5,6), после чего для угла разлета 0а находим:

и обратно:

Подставив это выражение в формулу (1) задачи 2, получим:

Угол пробегает значения от до .

6. Определить наибольшую энергию, которую может унести одна из раепадных частиц при распаде неподвижной частицы с массой М на три частицы

Решение. Частица имеет наибольшую энергию, если система двух остальных частиц имеет наименьшую возможную массу; последняя равна сумме (чему отвечает совместное движение этих частиц с одинаковой скоростью).

Сведя, таким образом, вопрос к распаду тела на две части, получим согласно (11,3):