§ 83. Криволинейные координаты

Поскольку при изучении гравитационных полей приходится рассматривать явления в произвольных системах отсчета, то возникает необходимость развить четырехмерную геометрию в форме, пригодной в произвольных координатах.

Этому посвящены § 83, 85, 86.

Рассмотрим преобразование одной системы координат в другую :

где — некоторые функции. При преобразовании координат их дифференциалы преобразуются согласно формулам

Контравариантным 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин А, которые при преобразовании координат преобразуются как их дифференциалы:

Пусть — некоторый скаляр. Производные при преобразовании координат преобразуются согласно формулам

отличным от формул (83,2). Ковариантным 4-вектором называется всякая совокупность четырех величин , которые при преобразовании координат преобразуются как производные от скаляра:

Аналогичным образом определяются 4-тензоры различных рангов. Так, контравариантным 4-тензором 2-го ранга называется совокупность 16 величин, преобразующихся как произведения двух контравариантных векторов, т. е. по закону

Ковариантный тензор 2-го ранга преобразуется по закону

а смешанный 4-тензор — по формулам

Данные определения являются естественным обобщением определений 4-векторов и 4-тензоров в галилеевых координатах (§ 6), согласно которым дифференциалы тоже составляют контравариантный, а производные — ковариантный 4-вектор.

Правила образования 4-тензоров путем перемножения или упрощения произведений других 4-тензоров остаются в криволинейных координатах теми же, что и в галилеевых координатах. Легко, например, убедиться в том, что в силу законов преобразования (83,2) и (83,4) скалярное произведение двух 4-векторов действительно инвариантно:

Определение единичного 4-тензора при переходе к криволинейным координатам не меняется: его компоненты снова при , а при равны 1. Если — 4-вектор, то при умножении на мы получим:

т. е. снова 4-вектор; этим и доказывается, что является тензором.

Квадрат элемента длины в криволинейных координатах есть квадратичная форма дифференциалов :

(83,8)

где — функции координат; симметричны по индексам

Поскольку произведение (упрощенное) на контравариантный тензор есть скаляр, то составляют ковариантный тензор; он называется метрическим тензором.

Два тензора называются обратными друг другу, если

В частности, контравариантным метрическим тензором называется тензор, обратный тензору , т. е.

(83,10)

Одна и та же векторная физическая величина может быть представлена как в контра-, так и в ковариантных компонентах.

Очевидно, что единственными величинами, которые могут определять связь между теми и другими, являются компоненты метрического тензора. Такая связь дается формулами

В галилеевой системе координат метрический тензор имеет компоненты:

При этом формулы (83,11) дают известную связь .

Сказанное относится и к тензорам. Переход между различными формами одного и того же физического тензора совершается с помощью метрического тензора по формулам

В § 6 был определен (в галилеевой системе координат) совершенно антисимметричный единичный псевдотензор . Преобразуем его к произвольной криволинейной системе координат, причем обозначим его теперь через . Обозначение же сохраним для величин, определенных по-прежнему по значению (или ).

Пусть — галилеевы, а — произвольные криволинейные координаты. Согласно общим правилам преобразования тензоров, имеем:

или

где J — определитель, составленный из производных , т. е. не что иное, как якобиан преобразования от галилеевых координат к криволинейным:

Этот якобиан можно выразить через определитель метрического тензора (в системе ). Для этого пишем формулу преобразования метрического тензора:

и приравниваем определители, составленные из величин, стоящих в обеих сторонах этого равенства. Определитель обратного тензора Определитель же . Поэтому имеем , откуда .

Таким образом, в криволинейных координатах антисимметричный единичный тензор 4-го ранга должен быть определен как

Опускание индексов у этого тензора осуществляется с помощью формулы

так что его ковариантные компоненты

(83,14)

В галилеевой системе координат интеграл от скаляра по тоже есть скаляр, т. е. элемент ведет себя при интегрировании как скаляр (§ 6). При преобразовании к криволинейным координатам элемент интегрирования переходит в

Таким образом, в криволинейных координатах при интегрировании по 4-объему ведет себя как инвариант произведение

Все сказанное в конце § 6 относительно элементов интегрирования по гиперповерхности, поверхности и линии остается в силе и в криволинейных координатах, с тем только отличием, что несколько меняется определение дуальных тензоров.

Элемент «площади» гиперповерхности, построенный на трех бесконечно малых смещениях, есть контравариэнтнъгй антисимметричный тензор ; дуальный ему вектор получается умножении на тензор т. е. равен

(83,15)

Аналогично, еели есть элемент поверхности (двухмерной), построенный на двух бесконечно малых смещениях, то дуальный ему тензор определяется как

(83.16)

Мы оставляем здесь обозначения как и прежде, соответственно для (а не для их произведений на ), правила (6,14-19) для преобразования различных интегралов друг в друга остаются тогда теми же самыми, поскольку их вывод имеет формальный характер, не связанный с тензорными свойствами соответствующих величин. Из них нам в особенности понадобится правило преобразования интеграла по гиперповерхности в интеграл по 4-объему (теорема Гаусса), осуществляющегося заменой

(83,17)