§ 3. Собственное время

Предположим, что мы наблюдаем из некоторой инерциальной системы отсчета произвольным образом движущиеся относительно нас часы. В каждый отдельный момент времени это движение можно рассматривать как равномерное. Поэтому в каждый момент времени можно ввести неподвижно связанную с движущимися часами систему координат, которая (вместе с часами) будет являться тоже инерциальной системой отсчета.

В течение бесконечно малого промежутка времени (по неподвижным, т. е. связанным с нами, часам) движущиеся часы проходят расстояние

Спрашивается, какой промежуток времени покажут при этом движущиеся часы. В системе координат, связанной с движущимися часами, последние покоятся, т. е. . В силу инвариантности интервала

откуда

Но

где о есть скорость движущихся часов; поэтому

Интегрируя это выражение, можно найти промежуток времени, показываемый движущимися часами, если по неподвижным часам пройдет время

Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта. Формулы (3,1) и (3,2) выражают собственное время через время системы отсчета, относительно которой рассматривается движение.

Как видно из (3,1) или (3,2), собственное время движущегося объекта всегда меньше, чем соответствующий промежуток времени в неподвижной системе. Другими словами, движущиеся часы идут медленнее неподвижных.

Пусть относительно инерциальной системы отсчета К движутся прямолинейно и равномерно другие часы. Система отсчета К, связанная с этими последними, тоже инерциальная. Тогда часы в системе К с точки зрения наблюдателя в системе К отстают по сравнению с его часами. И наоборот, с точки зрения системы К отстают часы в системе К. Убедиться в отсутствии какого-либо противоречия можно, обратив внимание на следующее обстоятельство. Для того чтобы установить, что часы в системе К отстают относительно часов в системе К, надо поступить следующим образом. Пусть в некоторый момент времени часы К пролетают мимо часов в К, и в этот момент показания обоих часов совпадают. Для сравнения хода часов К и К надо вновь сравнить показания тех же движущихся часов К с часами в К. Но теперь мы уже сравниваем эти часы с другими часами в К — с теми, мимо которых часы К пролетают в другой момент. При этом обнаружится, что часы К будут отставать по сравнению с часами в К, с которыми они сравниваются. Мы видим, что для сравнения хода часов в двух системах отсчета необходимы несколько часов в одной системе и одни в другой. Поэтому этот процесс не симметричен по отношению к обеим системам. Всегда окажутся отстающими те часы, - которые сравниваются с разными часами в другой системе отсчета,

Если же имеются двое часов, из которых одни описывают замкнутую траекторию, возвращаясь в исходное место (к неподвижным часам), то окажутся отстающими именно движущиеся часы (по сравнению с неподвижными). Обратное рассуждение, в котором движущиеся часы рассматривались бы как неподвижные, теперь невозможно, так как часы, описывающие замкнутую траекторию, не движутся равномерно и прямолинейно, а потому связанная с ними система отсчета не является инерциальной.

Поскольку законы природы одинаковы только в инерциальных системах отсчета, то системы отсчета, связанные с неподвижными часами (инерциальная система) и с движущимися (неинерциальная), обладают разными свойствами, и рассуждение, приводящее к результату, что покоящиеся часы должны оказаться отстающими, неправильно.

Промежуток времени, показываемый часами, равен интегралу у ds, взятому вдоль мировой линии этих часов. Если часы неподвижны, то их мировая линия является прямой, параллельной оси времени; если же часы совершают неравномерное движение по замкнутому пути и возвращаются в исходное место, то их мировая линия будет кривой, проходящей через две точки на прямой мировой линии неподвижных часов, соответствующих началу и концу движения. С другой стороны, мы видели, что покоящиеся часы показывают всегда больший промежуток времени, чем движущиеся.

Таким образом, мы приходим к выводу, что интеграл , взятый между двумя заданными мировыми точками, имеет максимальное значение, если он берется по прямой мировой линии, соединяющей эти точки,