§ 69. Тормозное излучение малых частот
Рассмотрим низкочастотный «хвост» спектрального распределения тормозного излучения: область частот, малых по сравнению с той частотой (обозначим ее 
), в области которой сосредоточена основная часть излучения:
При этом мы не будем предполагать скорости сталкивающихся частиц малыми по сравнению со скоростью света, как это делалось в предыдущем параграфе; следующие ниже формулы справедливы при произвольных скоростях. В нерелятивистском случае 
где 
— порядок величины продолжительности столкновения; в ультрарелятивистском случае 
пропорциональна квадрату энергий излучающей частицы (см. ниже § 77), В интеграле
поле излучения Н заметно отлично от нуля только в течение промежутка времени порядка 
Поэтому при соблюдении условия (69,1) мы можем считать, что под интегралом 
, так что можно заменить 
единицей; тогда
Подставляя сюда 
и производя интегрирование по времени, получим:
где 
— изменение векторного потенциала аоля, создаваемого сталкивающимися частицами, за время столкновения.
Полное излучение (с частотой 
) за время столкновения получится подстановкой (69,2) в (66,9):
Для векторного потенциала можно воспользоваться его выражением в форме Лиенара — Вихерта (66,4), и мы получим:
где 
— скорости частицы до и после рассеяния, а сумма берется по обеим сталкивающимся частицам. Обратим внимание на то, что коэффициент при 
оказывается не зависящим от частоты. Другими словами, при малых частотах (условие 
) спектральное распределение излучения не зависит от частоты, т. е. 
стремится к постоянному пределу при 
Если скорости сталкивающихся частиц малы по сравнению со скоростью света, то (69,4) переходит в
Это выражение соответствует дипольному излучению, векторный потенциал которого дается формулой (67,4).
Интересный случай применения полученных формул представляет излучение, возникающее при испускании новой заряженной частицы (например, при вылете 
-частицы из ядра). При этом процесс надо рассматривать как мгновенное изменение скорости частицы — от нуля до ее заданного значения (ввиду симметрии формулы (69,5) по отношению к перестановке 
возникающее в этом процессе излучение совпадает с излучением, которое сопровождало бы обратный процесс — мгновенную остановку частицы). Существенно, что поскольку «время» данного процесса 
то условию (69,1) фактически удовлетворяют все вообще частоты.
Задача
Определить спектральное распределение полного излучения, возникающего при испускании заряженной частицы, движущейся со скоростью V.
Решение. Согласно формуле (69,4) (в которой полагаем 
имеем;
Вычисление интеграла приводит к результату:
При v с эта формула переходит в
что можно получить и непосредственно из (69,5).
