§ 102. Гравитационный коллапс сферического тела

В шварцшильдовой метрике (100,14) обращается в нуль, в бесконечность при (на шварцшильдовой сфере). Это обстоятельство могло бы дать основания к заключению о наличии особенности пространственно-временной метрики и затем к заключению о невозможности существования тел с «радиусом» (при заданной массе), меньшим гравитационного радиуса. В действительности, однако, такие заключения были бы неправильными. На это указывает уже то обстоятельство, что определитель никакой особенности при не имеет, так что условие g < 0 (82,3) не нарушается. Мы увидим, что фактически мы имеем дело лишь с невозможностью осуществления при жесткой системы отсчета.

Для выяснения истинного характера пространственно-временной метрики в этой области произведем преобразование координат вида

Тогда

Мы устраним особенность при выбрав так, чтобы было Если положить то новая система координат будет также и синхронной Выбрав сначала для определенности верхние знаки в (102,1), будем иметь:

или

(102,2)

(постоянную интегрирования, зависящую от начала отсчета времени , полагаем равной нулю). Элемент интервала:

(102,3)

В этих координатах особенность на шварцшильдовой сфере (которой соответствует здесь равенство отсутствует. Координата R является везде пространственной, а — временной. Метрика (102,3) нестационарна. Как во всякой синхронной системе отсчета, линии времени в нейявляютея геодезическими линиями. Другими словами, покоящиеся относительно системы отсчета «пробные» частицы — это частицы, свободно движущиеся в данном поле.

Рис. 20

Заданным значениям отвечают мировые линии (наклонные прямые линии на диаграмме рис. 20). Мировые же линии частиц, покоящихся относительно системы отсчета, на этой диаграмме изображаются вертикальными прямыми; передвигаясь вдоль них, частицы за конечный интервал собственного времени «падают» в центр поля представляющий собой точку истинной особенности метрики,

Рассмотрим распространение радиальных световых сигналов. Уравнение (при ) дает для производной вдоль луча:

два знака отвечают двум границам светового «конуса» с вершиной в заданной мировой точке. При (точка а на рис. 20) наклон этих границ так что прямая (вдоль которой попадает внутрь конуса. В области же (точка а) имеем так что прямая — мировая линия неподвижной (относительно центра поля) частицы — лежит вне конуса. Обе границы конуса на конечном расстоянии пересекают линию подходя к ней вертикально. Поскольку никакие причинно связанные события не могут лежать на мировой линии вне светового конуса, отсюда следует, что в области никакие частицы не могут быть неподвижными. Все вообще взаимодействия и сигналы распространяются здесь по направлению к центру, достигая его за конечный промежуток времени .

Аналогичным образом, выбрав в преобразовании (102,1) нижние знаки, мы получили бы «расширяющуюся» систему отсчета с метрикой, отличающейся от (102,3) изменением знака перед . Она отвечает пространству-времени, в котором (в области ) по-прежнему невозможен покой, но распространение всех сигналов происходит в направлении от центра.

Изложенные результаты можно применить к вопросу о поведении массивных тел в общей теории относительности.

Исследование релятивистских условий равновесия сферического тела показывает, что для тела достаточно большой массы равновесного статического состояния может не существовать (см. «Статистическая физика», ч. 1, § 109). Очевидно, что такое тело должно неограниченно сжиматься (так называемый гравитационный коллапс).

В не связанной с телом галилеевой на бесконечности системе отсчета (метрика (100,14)) радиус центрального тела не может быть меньше . Это значит, что по часам t удаленного наблюдателя радиус сжимающегося тела лишь асимптотически при стремится к гравитационному радиусу. Легко выяснить предельный закон этого приближения.

Частица на поверхности сжимающегося тела находится все время в поле тяготения постоянной массы т — полной массы тела. При силы тяготения становятся очень большими; плотность же тела (а с нею и давление) остается конечной.

Пренебрегая на этом основании силами давления, мы сведем определение зависимости радиуса тела от времени к рассмотрению свободного падения пробной частицы в поле массы .

Зависимость для падения в шварцшильдовом поле дается интегралом (101,4), причем для чисто радиального движения момент Так, если падение начинается на «расстоянии» от центра с нулевой скоростью в некоторый момент времени то энергия частицы и для времени t достижения ею «расстояния» имеем:

Этот интеграл расходится при как Отсюда асимптотический закон приближения к

(102,6)

Таким образом, конечная стадия приближения коллапсирующего тела к гравитационному радиусу происходит по экспоненциальному закону с очень малым характерным временем

Хотя скорость наблюдаемого извне сжатия асимптотически стремится к нулю, скорость v падающих частиц, измеренная в их собственном времени, напротив, возрастает, стремясь к скорости света. Действительно, согласно определению (88,10):

Взяв из (100,14), из (102,5), найдем:

Приближение к гравитационному радиусу, требующее бесконечного времени по часам удаленного наблюдателя, занимает лишь конечный интервал собственного времени (время в сопутствующей системе отсчета). Это ясно уже из изложенного выше общего анализа, но в этом можно убедиться и непосредственным вычислением собственного времени как инвариантного интеграла

Взяв из (102,5), находим для собственного времени падения из точки в :

Этот итеграл сходится при

Достигнув (по собственному времени) гравитационного радиуса, тело будет продолжать сжиматься, причем все его частицы достигнут центра за конечное собственное время-, момент падения каждой порции вещества в центр представляет собой истинную особенность пространственно-временной метрики. Весь процесс сжатия тела под шварцшильдовой сферой, однако, не наблюдаем из внешней системы отсчета. Моменту прохождения поверхностью тела этой сферы отвечает время ; можно сказать, что весь процесс коллапса под шварцшильдовой сферой происходит как бы «за временной бесконечностью» удаленного наблюдателя — крайний пример относительности хода времени. Никаких логических противоречий в этой картине, разумеется, нет. В полном соответствии с ней находится указанное выше свойство сжимающейся системы отсчета: в этой системе из-под шварцшильдовой сферы не выходят никакие сигналы. Частицы или лучи света могут пересекать эту сферу (в сопутствующей системе отсчета) лишь в одном направлении — внутрь, и, раз пройдя туда, уже никогда обратно выйти не могут. Такую поверхность «одностороннего клапана» называют горизонтом событий.

По отношению ко внешнему наблюдателю сжатие к гравитационному радиусу сопровождается «самозамыканием» тела. Время распространения посылаемых с тела сигналов стремится к бесконечности. Действительно, для световых сигналов и в шварцшильдовой системе имеем с время распространения от до некоторого дается интегралом

расходящимся (как и интеграл ) при

Интервалы собственного времени на поверхности тела сокращены по отношению к интервалам времени t бесконечно удаленного наблюдателя в отношении

при следовательно, все процессы на теле по отношению ко внешнему наблюдателю «застывают». Частота спектральной линии, испускаемой на теле и воспринимаемой удаленным наблюдателем, уменьшается, однако не только этим эффектом гравитационного красного смещения, но и эффектом Доплера от движения источника, падающего к центру вместе с поверхностью шара. Когда радиус шара уже близок к (так что скорость падения уже близка к скорости света), этот эффект уменьшает частоту в

раз.

Под влиянием обоих эффектов наблюдаемая частота обращается, следовательно, в нуль при закону

Таким образом, с точки зрения удаленного наблюдателя гравитационный коллапс приводит к возникновению «застывшего» тела, которое не посылает в окружающее пространство никаких сигналов и взаимодействует с внешним миром только своим статическим гравитационным полем. Такое образование называют черной дырой или коллапсаром.

В заключение сделаем еще одно замечание методического характера. Мы видели, что для центрального поля в пустоте инерциальная на бесконечности «система внешнего наблюдателя» не полна: в ней нет места для мировых линий частиц, движущихся внутри шварцшильдовой сферы. Метрика же (102,3) применима также и внутри шварцшильдовой сферы, однако и эта система отсчета в известном смысле не полна. Действительно, рассмотрим в этой системе частицу, совершающую радиальное движение по направлению от центра. Ее мировая линия при уходит в бесконечность, а при она должна асимптотически приближаться к поскольку в данной метрике внутри шварцшильдовой сферы движение может происходить лишь по направлению к центру. С другой стороны, продвижение частицы от до любой заданной точки происходит за конечный промежуток собственного времени. По собственному времени, следовательно, частица должна подойти к шварцшильдовой сфере изнутри прежде, чем начать двигаться вне ее; но эта часть истории частицы не охватывается данной системой отсчета

Подчеркнем, однако, что эта неполнота возникает только при формальном рассмотрении метрики поля, как создаваемого точечной массой. В реальной физической задаче, скажем, о коллапсе протяженного тела, неполнота не проявляется: решение, получающееся путем сшивания метрики (102,3) с решением внутри вещества, будет, разумеется, полным и будет описывать всю историю всех возможных движений частиц (мировые линии частиц, движущихся в области по направлению от центра, при этом непременно начинаются от поверхности шара еще до его сжатия под сферу Шварцпгильда).

Задачи

1. Для частицы в поле коллапсара найти радиусы круговых орбит (С. А. Каплан, 1949).

Решение. Зависимость r(t) для частицы, движущейся в шварцшильдовом поле, дается формулой (101,4) или, в дифференциальном виде:

где

( — масса частицы, — гравитационный радиус центрального тела с массой ). Функция играет роль «эффективной потенциальной энергии» в том смысле, что условием определяются (аналогично нерелятивистской теории) допустимые области движения. На рис. 21 изображены кривые для различных значений момента частицы М.

Рис. 21

Радиусы круговых орбит и соответствующие им значения и М определяются экстремумами функции , причем минимумы отвечают устойчивым, а максимумы — неустойчивым орбитам. Совместное решение уравнений дает:

причем верхний знак относится к устойчивым, а нижний — к неустойчивым орбитам. Ближайшая к центру устойчивая круговая орбита имеет параметры

Минимальный радиус неустойчивой орбиты равен и достигается в пределе . На рис, 22 изображена кривая зависимости от ; ее верхняя ветвь дает радиусы устойчивых, а нижняя — неустойчивых орбит.

2. Для движения в том же поле определить сечение гравитационного захвата падающих на бесконечности: а) нерелятивистских, б) ультрарелятивистских частиц . Зельдович, И. Д. Новиков, 1964).

Решение, а) Для нерелятивистской (на бесконечности) скорости о» энергия частицы . Из кривых рис. 21 видно, что прямая лежит выше всех потенциальных кривых с моментами т. е. с прицельными расстояниями

Рис. 22

Рис. 23

Все частицы с такими гравитационно захватываются: они достигают (асимптотически, при ) шварцшильдовой сферы, не уходя снова на бесконечность. Сечение захвата:

б) В уравнении (1) задачи 1 переход к ультрарелятивистской частице (или к лучу света) осуществляется заменой Введя также прицельное расстояние получим:

Границы движения по (точки поворота) определяются нулями подкоренного выражения. Как функция от они изображаются кривой на рис. 23; возможным движениям отвечает незаштрихованная часть плоскости. Кривая имеет минимум в точке

При меньших значениях прицельного расстояния частица не встречает точки поворота, т. е. проходит к шварцшильдовой сфере. Отсюда сечение захвата