§ 55. Угловой эйконал

Идущий в пустоте луч света, попадая в какое-либо прозрачное материальное тело, имеет по выходе из этого тела направление, вообще говоря, отличное от первоначального. Это изменение направления зависит, конечно, от конкретных свойств тела и от его формы. Оказывается, однако, возможным вывести некоторые общие законы, относящиеся к изменению направления лучей света при прохождении через произвольные материальные тела. При этом предполагается только, что для лучей, распространяющихся внутри рассматриваемого тела, имеет место геометрическая оптика. Такие прозрачные тела, через которые пропускают лучи света, мы будем называть, как это принято, оптическими системами.

В силу указанной в § 53 аналогии между распространением лучей и движением частицы, те же общие законы справедливы и для изменения направления движения частиц, двигавшихся сначала прямолинейно в пустоте, затем проходящих через какое-нибудь электромагнитное поле и снова выходящих из этого поля в пустоту.

Для определенности мы будем, однако, ниже говорить о распространении лучей света.

Мы видели, что уравнение эйконала, определяющее распространение лучей, может быть написано (для света с определенной частотой) в виде (53,11). Ниже мы будем для удобства обозначать посредством эйконал деленный на постоянную величину . Тогда основное уравнение геометрической оптики будет иметь вид

Каждое решение этого уравнения описывает собой определенный пучок лучей, причем направление луча, проходящего через данную точку пространства, определяется градиентом в этой точке. Для наших целей, однако, такое описание недостаточно, поскольку мы ищем общие соотношения, определяющие прохождение через оптические системы не какого-либо одного определенного пучка лучей, а соотношения, относящиеся к любым лучам. Поэтому мы должны пользоваться эйконалом, взятым в таком виде, в котором он описывал бы все вообще возможные лучи света, т. е. лучи, проходящие через любую пару точек в пространстве. В обычной своей форме эйконал есть фаза луча из некоторого пучка, проходящего через точку г. Теперь же мы должны ввести эйконал как функцию координат двух точек — радиус-векторы начальной и конечной точек луча). Через всякую пару точек можно провести луч, есть разность фаз (или, как говорят, оптическая длина пути) этого луча между точками . Ниже мы будем везде подразумевать под радиус-векторы точек на луче соответственно до и после его прохождения через оптическую систему.

Если в один из радиус-векторов, скажем , считать заданным, то как функция от будет описывать определенный пучок лучей, а именно пучок лучей, проходящих через точку . Тогда должно удовлетворять уравнению (55,1), в котором дифференцирование производится по компонентам . Аналогично, считая заданным, находим еще одно уравнение для , так что

Направление луча определяется градиентом его фазы. Поскольку есть разность фаз в точках , то направление луча в точке определяется вектором , а в точке — вектором Из (55,2) видно, что векторы единичные:

Четыре вектора связаны между собой некоторым соотношением, поскольку два из них являются производными по двум другим от некоторой функции Что касается самой функции то она удовлетворяет дополнительным условиям — уравнениям (55,2).

Для нахождения соотношения между удобно ввести вместо другую величину, на которую бы не налагалось никаких дополнительных условий (т. е. которая не должна была бы удовлетворять каким-либо дифференциальным уравнениям). Это можно сделать следующим образом. В функции независимыми переменными являются , так что для дифференциала имеем:

Произведем теперь преобразование Лежандра к независимым переменным вместо , т. е. напишем:

откуда, вводя функцию

имеем:

Функцию называют угловым эйконалом; как видно из (55,5), независимыми переменными в нем являются . На не налагается уже никаких дополнительных условий. Действительно, уравнения (55,3) представляют собой теперь лишь условия, относящиеся к независимым переменным, показывающие, что из трех компонент вектора (и аналогично для ) только две являются независимыми. Мы будем ниже в качестве независимых переменных пользоваться компонентами , и тогда

Подставляя эти выражения в

находим для дифференциала

Отсюда находим окончательно следующие уравнения:

определяющие искомое общее соотношение между Функция характеризует конкретные свойства тел, через которые проходят лучи (или свойства поля — в случае движения заряженных частиц).

При заданных значениях каждая из двух пар уравнений (55,6) изображает собой прямую линию. Эти прямые являются не чем иным, как лучами до и после прохождения через оптическую систему. Таким образом, уравнения (55,6) непосредственно определяют ход лучей по обе сторонк оптической системы.