§ 96. Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля

При отсутствии гравитационного поля закон сохранения энергии и импульса материи (вместе с электромагнитным полем) выражается уравнением

Обобщением этого уравнения на случай наличия гравитационного поля является уравнение (94,7)

В таком виде, однако, это уравнение, вообще говоря, не выражает закона сохранения чего бы то ни было. Это обстоятельство связано с тем, что в гравитационно поле должен сохраняться не 4-импульс одной лишь материи, а 4-импульс материи вместе с гравитационным полем; последний же не учтен в выражении для Т).

Для определения сохраняющегося полного 4-импульса гравитационного поля вместе с находящейся в нем материей мы поступим следующим образом (Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1947). Выберем систему координат так, чтобы в некоторой заданной точке пространства-времени все первые производные от по координатам обратились в нуль (сами же при этом не должны обязательно иметь галилеевы значения). Тогда в этой точке второй член в уравнении (96,1) обратится в нуль а в первом можно вынести из-под знака производной, так что остается

или в контравариантных компонентах

Величины тождественно удовлетворяющие этому уравнению, могут быть написаны в виде

где — величины, антисимметричные по индексам k, l:

Нетрудно фактически привести к такому виду. Для этого исходим из уравнений поля:

а для имеем согласно (92,1):

(напоминаем, что в рассматриваемой точке все После простых преобразований тензор может быть приведен к виду

Стоящее в фигурных скобках выражение антисимметричнр по индексам k, l и есть то, что мы обозначили выше как Поскольку первые производные от в рассматриваемой точке равны нулю, то множитель можно вынести из-под знака производной Введем обозначения

величины антисимметричны по индексам k, l:

Тогда можно написать

Это соотношение, выведенное в предположении , перестает иметь место при переходе к произвольной системе координат.

В общем случае разность отлична от нуля; обозначим ее посредством . Тогда будем иметь по определению:

Величины симметричны по индексам i, k:

Это видно непосредственно из их определения, поскольку как тензор , так и производные являются симметричными величинами. Выражая через согласно уравнениям Эйнштейна, получим соотношение

из которого можно найти после довольно длийного вычисления следующее выражение для :

или, непосредственно через производные от компонент метрического тензора:

(95,9)

где , а индекс означает простое дифференцирование по .

Существенным свойством величин является то, что они не составляют тензора; это видно уже из того, что в стоят простые, а не коварнантные производные. Однако выражаются через величины а последние ведут себя как тензор по отношению к линейным преобразованиям координат (см. § 85); то же самое относится, следовательно, и к .

Из определения (96,5) следует, что для суммы тождественно выполняются уравнения

(96,10)

Это значит, что имеет место закон сохранения величин

При отсутствии гравитационного поля в галилеевых координатах и написанный интеграл переходит в материи. Поэтому величины (96,11) должны быть отождествлены с полным -импульсом материи вместе с гравитационным полем. Совокупность величин называют псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля.

Интегрирование в (96,11) может производиться по любой бесконечной гиперповерхности, включающей в себя все трехмерное пространство. Если выбрать в качестве нее гиперповерхность , то можно написать в виде трехмерного пространственного интеграла:

(96,12)

Тот факт, что полный 4-импульс материи и поля выражается в виде интегралов от симметричных по индексам i, k величин весьма существен. Он означает, что сохраняется 4-момент импульса, определяемый как (см. § 32)

(96,13)

Таким образом, и в общей теории относительности у замкнутой системы гравитирующих тел сохраняется полный момент импульса и, кроме того, по-прежнему может быть дано определение центра инерции, совершающего равномерное движение. Последнее связано с сохранением компонент § 14), выражающимся уравнением

так что координаты центра инерции даются формулой

Выбирая систему координат, инерциальную в данном элементе объема, можно обратить все в любой точке пространства-времени в нуль (так как при этом обращаются в нуль все ). С другой стороны, можно получить отличные от нуля в плоском пространстве, т. е. при отсутствии гравитационного поля, если просто воспользоваться криволинейными координатами вместо декартовых. Таким образом, во всяком случае не имеет смысла говорить об определенной локализации энергии гравитационного поля в пространстве. Если тензор в некоторой мировой точке, то это имеет место любой системе отсчета, так что мы можем сказать, что в этой точке нет материи или электромагнитного поля. Напротив, из равенства нулю псевдотензора в некоторой точке в одной системе отсчета отнюдь не следует того же самого для другой системы отсчета, и поэтому не имеет смысла говорить о том, имеется ли или нет гравитационная энергия в данном месте. Это вполне соответствует тому, что подходящим выбором координат можно «уничтожить» гравитационное поле в данном элементе объема, причем согласно сказанному выше одновременно исчезает и псевдотензор в этом элементе.

Величины же — -импульс поля и материи — имеют вполне определенный смысл, оказываясь не зависящими от выбора системы отсчета как раз в такой степени, как это необходимо на основании физических соображений.

Выделим область пространства, включающую в себя все рассматриваемые массы. В четырехмерном пространстве-времени эта область с течением времени прорезывает «канал». Вне этого «канала» поле убывает, так что -пространство асимптотически приближается к плоскому. В связи с этим при вычислении энергии и импульса поля надо выбрать четырехмерную систему координат таким образом, чтобы по мере удаления от «канала» она переходила в галилееву систему и все исчезали.

Этим требованием система отсчета, конечно, отнюдь не определяется однозначно, — внутри канала она может быть выбрана произвольно. В полном согласии с физическим смыслом величин они оказываются, однако, совершенно не зависящими от выбора системы координат внутри «канала». Действительно, рассмотрим две системы координат, различные внутри «канала», но переходящие вдали от него в одну и ту же галилееву систему, и сравним значения 4-импульса в этих двух системах в определенные моменты «времени» .

Введем третью систему координат, совпадающую внутри «канала» в момент с первой системой, в момент со второй, а вдали от «канала» с той же галилеевой. В силу закона сохранения энергии и импульса величины. постоянны . Это имеет место в третьей системе координат, как и в первых двух. Отсюда следует , что и требовалось доказать.

Выше было отмечено, что величины являются тензором по отношению к линейным преобразованиям координат. Поэтому величины образуют 4-вектор по отношению к таким преобразованиям, в частности по отношению к преобразованиям Лоренца, переводящим на бесконечности одну галилееву систему отсчета в другую.

4-импульс может быть выражен также в виде интеграла по удаленной трехмерной поверхности, охватывающей «все пространство». Подставив (96,5) в (96,11), находим

Этот интеграл можно преобразовать в интеграл по обычной поверхности с помощью (6,17):

(96,15)

Если в качестве области интегрирования в (96,11) выбирается гиперповерхность , то в (96,15) поверхность интегрирования оказывается чисто пространственной поверхностью

(96,16)

Заметим, что, как будет показано в § 105, величины убывают в стационарном случае на больших расстояниях от тел по закону , так что интеграл (96,16) остается конечным при удалении поверхности интегрирования на бесконечность.

Для вывода аналогичной формулы для момента импульса подставим (96,5) в (96,13) и представим в виде (96,2). Проинтегрировав затем «по частям», найдем:

Из определения величин легко видеть, что

Поэтому оставшийся интеграл по равен

Наконец, снова выбирая чисто пространственную поверхность интегрирования, получим окончательно:

(96,17)

Задача

Получить выражение для полного 4-импульса материи и гравитационного поля, воспользовавшись формулой (32,5).

Решение. В криволинейных координатах имеем вместо (32,1)

и потому для получения сохраняющейся величины надо писать в (32,5) вместо , так что 4-импульс имеет вид

При применении этой формулы к материи, для которой величины q отличны от можно вынести из-под знака производной, и подынтегральное выражение оказывается равным , где Г—тензор энергии-импульса материи. При применении же написанной формулы к гравитационному полю надо положить а величинами являются компоненты метрического тензора.

Полный 4-импульс поля и материи равен, следовательно,

Воспользовавшись выражением (93,3) для G, можно преобразовать эту формулу к виду

Второй член в фигурных скобках определяет 4-импульс гравитационного поля при отсутствии материи. Подынтегральное выражение не симметрично по индексам i, k и потому не дает возможности сформулировать закон сохранения момента импульса.