§ 73. Излучение быстро движущегося заряда

Рассмотрим теперь заряженную частицу, движущуюся со скоростью не малой по сравнению со скоростью ввета.

Формулы § 67, выведенные в предположении и , неприменимы к этому случаю непосредственно. Мы можем, однако, рассматривать частицу в той системе отсчета, в которой она в данный момент покоится; в этой системе отсчета упомянутые формулы, очевидно, применимы (обращаем внимание на то, что это возможно сделать лишь в случае одной движущейся частицы; для нескольких частиц не существует, вообще говоря, системы отсчета, в которой бы все они одновременно покоились).

Таким образом, в указанной системе отсчета частица излучает в течение времени энергию

(согласно формуле (67,9)), где w — ускорение частицы в этой же системе. Полный же излучаемый ею импульс в рассматриваемой системе отсчета равен нулю

Действительно, излучение импульса определяется как интеграл от плотности потока импульса в поле излучения по замкнутой поверхности, охватывающей частицу. Но в силу свойств симметрии дипольного излучения импульсы, уносимые в противоположных направлениях, одинаковы по величине и противоположны по направлению; поэтому указанный интеграл обращается тождественно в нуль.

Для перехода к произвольной системе отсчета перепишем формулы (73,1) и (73,2) в четырехмерном виде. Легко видеть, что «излучение 4-импульса» должно быть записано как

Действительно, в системе отсчета, в которой частица покоится, пространственные компоненты 4-скорости и равны нулю, а поэтому пространственные компоненты обращаются в нуль, а временная дает равенство (73,1).

Полное излучение 4-импульса за время пролета частицы через данное электромагнитное поле равно интегралу от выражения (73,3), т. е.

Перепишем эту формулу в другом виде, выразив 4-ускорение через тензор внешнего электромагнитного поля с помощью уравнений движения (23,4):

Мы получим тогда

(73,5)

Временная компонента уравнения (73,4) или (73,5) дает полное излучение энергии . Подставляя для четырехмерных величин их выражения через трехмерные величины, получим:

( — ускорение частицы), или, через внешние электрическое и магнитное поля:

Выражения для полного излучения импульса отличаются лишним множителем v под знаком интеграла.

Из формулы (73,7) видно, что при скоростях, близких к скорости света, полное излучение энергии в единицу времени зависит от скорости в основном как т. е. пропорционально квадрату энергии движущейся частицы. Исключение представляет только движение в электрическом поле параллельно направлению поля. В этом случае множитель ), стоящий в знаменателе, сокращается с таким же множителем в числителе, и излучение оказывается не зависящим от энергии частицы.

Наконец, остановимся на вопросе об угловом распределении излучения быстро движущейся частицы. Для решения этой задачи удобно воспользоваться лиенар-вихертовским выражением для поля (63,8-9). На больших расстояниях мы должны сохранить в нем только член с более низкой степенью (второй член в формуле (63,8)). Вводя единичный вектор в направлении излучения , получим формулы

где все величины в правых сторонах равенств берутся в запаздывающий момент времени .

Интенсивность излучения в телесный угол равна

Раскрывая квадрат , найдем:

Если же мы хотим определить угловое распределение полного излучения за все время движения заряда, то надо проинтегрировать интенсивность по времени. При этом следует помнить, что интегрируемое выражение является функцией t; поэтому надо писать

(73,10)

(см. (63,6)), после чего интегрирование производится непосредственно по df. Таким образом, имеем следующее выражение для полного излучения в элемент телесного угла :

(73,11)

Как видно из (73,9), угловое распределение излучения в общем случае довольно сложно. В ультрарелятивистском случае оно обладает характерной особенностью, связанной с наличием высоких степеней разности в знаменателях различных членов этого выражения. Именно, интенсивность велика в узком интервале углов, в котором мала разность

Обозначив посредством малый угол между , имеем:

эта разность мала при или, что то же,

(73,12)

Таким образом, ультрарелятивистская частица излучает в основном в направлении своего движения в интервал углов (73,12) вокруг направления скорости.

Укажем также, что при произвольных скорости и ускорении частицы всегда имеются такие два направления, в которых интенсивность излучения обращается в нуль. Это те направления, в которых вектор параллелен вектору w и потому поле (73,8) обращается в нуль (см. также задачу 2 в конце параграфа).

Наконец, выпишем более простые формулы, в которые переходит (73,9) в двух частных случаях.

Если скорость и ускорение частицы параллельны, то

и интенсивность

Она, естественно, симметрична вокруг совместного направления v и w и обращается в нуль в направлениях по и против скорости. В ультрарелятивистском случае интенсивность как функция от имеет резкий двойной максимум в области (73,12) с «провалом» до нуля при

Если же скорость и ускорение взаимно перпендикулярны, то из (73,9) имеем:

где — по-прежнему угол между , а — азимутальный угол вектора с плоскостью, проходящей через v и w. Эта интенсивность симметрична лишь относительно плоскости и обращается в нуль в двух направлениях в этой плоскости, образующих угол со скоростью.

Задачи

1. Определить полное излучение релятивистской частицы с зарядом пролетающей на прицельном расстоянии в кулоновом поле неподвижного центра (потенциал ).

Решение. При пролете через поле релятивистская частица почти не отклоняется. Поэтому в (73,7) можно считать скорость v постоянной, соответственно чему поле в точке нахождения частицы

причем . Произведя в (73,7) интегрирование по времени, получим:

2. Определить направления, в которых обращается в нуль интенсивность излучения движущейся частицы.

Решение. Из геометрического построения (рис. 15) находим, что искомые направления лежат в плоскости, проходящей через v и w, и образуют с направлением w угол определяющийся из соотношения

где а — угол между v и

3. Определить интенсивность излучения заряженной частицей, стационарно движущейся в поле циркулярно-поляризованной плоской электромагнитной волны.

Рис. 15

Решение. Согласно результатам задачи 3 § 48 частина движется по окружности, причем ее скорость в каждый момент времени параллельна полю Н и перпендикулярна полю Е. Ее кинетическая энергия

(обозначения из указанной задачи). По формуле (73,7) нахолим интенсивность излучения:

4. То же в поле линейно поляризованной волны.

Решение. Согласно результатам задачи 2 § 48 движение происходит в плоскости проходящей через направление распространения волны (ось и направление поля Е (ось у); поле Н направлено по оси (причем находим:

Усреднение по периоду движения, задаваемого полученным в указанной задаче параметрическим представлением, приводит к результату