§ 108. Гравитационные волны в искривленном пространстве-времени

Подобно тому как мы рассмотрели распространение гравитационных волн «на фоне» плоского пространства-времени, можно рассмотреть распространение малых возмущений по отношению к произвольной (негалилеевой) «невозмущенной» метрике . Имея в виду также и некоторые другие возможные применения, выпишем здесь необходимые формулы в наиболее общем виде.

Написав снова в виде (107,1), найдем, что поправка первого порядка к символам Кристоффеля выражается через поправки согласно

в чем можно убедиться прямым вычислением (здесь ) ниже все тензорные операции — поднимание и опускание индексов, ковариантные дифференцирования — производятся с помощью негалилеевой метрики Для поправок к тензору кривизны получается:

(108,2)

Отсюда поправки к тензору Риччи:

(108,3)

Поправки же к смешанным компонентам тензора Риччи получаются из соотношения

откуда

Точная метрика в пустоте должна удовлетворять точным уравнениям Эйнштейна .

Поскольку невозмущенная метрика удовлетворяет уравнениям то для возмущения получается уравнение , т. е.

(108,5)

В общем случае произвольных гравитационных волн упрощение этого уравнения до формы, подобной (107,8), невозможно. Это можно, однако, сделать в важном случае волн большой частоты: длина волны и период колебаний малы по сравнению с характерными расстояниями L и характерными временами , на которых меняется «фоновое поле». Каждое дифференцирование компонент , увеличивает тогда порядок величины в отношении по сравнению с производными от невозмущенной метрики . Если ограничиться точностью лишь до членов двух наибольших порядков , то в (108,5) можно менять порядок дифференцирований; действительно, разность

имеет порядок , между тем как каждое из выражений содержит члены обоих больших порядков. Наложив теперь на дополнительные условия

(108,6)

(аналогичные (107,5)), получим уравнение

(108,7)

обобщающее уравнение (107,8).

По причинам, указанным в § 107, условие (108,6) не фиксирует однозначный выбор координат. Последние можно еще подвергнуть преобразованию где малые величины удовлетворяют уравнению . Этими преобразованиями можно, в частности, воспользоваться для того, чтобы наложить на также и условие . Тогда , так что подчинены условиям

(108,8)

Круг все еще допустимых преобразований суживается после этого требованием

Псевдотензор содержит, вообще говоря, наряду с невозмущенной частью также и члены различных порядков по . Мы придем к выражению, аналогичному (107,11), если рассмотрим величины усредненные по участкам 4-пространства с размерами, большими по сравнению с , но малыми по сравнению с L. Такое усреднение (обозначаемое ниже угловыми скобками не затрагивает и обращает в нуль все члены, линейные по быстро осциллирующим величинам

Из квадратичных же членов сохраним лишь члены наиболее высокого (второго) порядка по это — члены, квадратичные по производным

При такой степени точности все члены в представляющие собой 4-дивергенции, могут быть опущены. Действительно, интегралы от таких выражений по области 4-пространства (области усреднения) преобразуются согласно теореме Гаусса, в результате чего их порядок величины по уменьшается на единицу. Кроме того, выпадают члены, обращающиеся в нуль в силу (108,7) и (108,8) после интегрирования по частям. Так, интегрируя по частям и опуская интеграл от 4-дивергенции, находим:

В результате из всех членов второго порядка остается лишь

Отметим, что при этом, с той же точностью, .

Обладая определенной энергией, гравитационная волна сама является источником некоторого дополнительного гравитационного поля. Вместе с создающей его энергией это поле — эффект второго порядка по величинам Но в случае высокочастотных гравитационных волн эффект существенно усиливается: тот факт, что псевдотензор квадратичен по производным от привносит в его порядок величины большой множитель . В таком случае можно сказать, что сами волны создают фоновое поле, на котором они распространяются. Это поле целесообразно рассматривать, проводя описанное выше усреднение по участкам 4-пространства с размерами, большими по сравнению с А. Такое усреднение сглаживает коротковолновую «рябь» и оставляет медленно меняющуюся фоновую метрику (R. A. Isaacson, 1968).

Для вывода уравнения, определяющего эту метрику, надо учесть в разложении тензора члены не только линейные, но и квадратичные по Как уже указывалось, усреднение не затрагивает членов нулевого порядка. Таким образом, усредненные уравнения поля принимают вид

(108,10)

причем в надо сохранить лишь члены второго порядка по Их легко найти из тождества (96,7}.

Квадратичные по члены, возникающие из правой части этого тождества, имеющей вид 4-дивергенции, исчезают (с рассматриваемой точностью) при усреднении и, таким образом, остается

или, поскольку с той же точностью:

Наконец, используя (108,9), получим окончательно уравнение (108.10) в виде

(108,11)

Если «фон» создается целиком самими волнами, уравнения (108.11) и (108,7) должны решаться совместно. Оценка выражений в обеих сторонах уравнения (108,11) показывает, что в этом случае радиус кривизны фоновой по своему порядку величины L связан с длиной волны К и порядком величины ее поля h согласно .