§ 7. Четырехмерная скорость

Из обычного трехмерного вектора скорости можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (-скоростью) частицы является вектор

Для нахождения его компонент замечаем, что согласно (3,1)

где v — обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому

и т. п. Таким образом:

Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная.

Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что , имеем:

Геометрически есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы.

Аналогично определению 4-скорости, вторую производную

можно назвать 4-ускорением. Дифференцируя соотношение (7,3), найдем:

т. е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны.

Задача

Определить релятивистское равноускоренное движение, т. е. прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения до в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета.

Решение. В системе отсчета, в которой скорость частицы компоненты 4-ускорения равны ) ( — обычное трехмерное ускорение, направленное вдоль оси х). Релятивистски инвариантное условие равноускоренности должно быть представлено в виде постоянства 4-скаляра, совпадающего с в собственной системе отсчета:

В «неподвижной» системе отсчета, относительно которой рассматривается движение, раскрытие выражения приводит к уравнению

Полагая при имеем так что

Интегрируя еще раз и полагая при получим:

При эти формулы переходят в классические выражения . При скорость стремится к постоянному значению с.

Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом

При оно растет по значительно более медленному чем t закону