§ 33. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Применим теперь полученные в предыдущем параграфе общие соотношения к электромагнитному полю. Для электромагнитного поля величина , стоящая под знаком интеграла (32,1), равна согласно (27,4)

Величинами q являются компоненты 4-потенциала поля А, так что определение (32,5) тензора принимает вид

Для вычисления стоящей здесь производной от А напишем вариацию:

Переставляя индексы и имея в виду антисимметричность получим:

Отсюда мы видим, что

и поэтому

или для контравариантных компонент

Этот тензор, однако, не симметричен. Для его симметризации прибавим к нему величину

Согласно уравнению поля (30,2) в отсутствие зарядов , а потому

так что производимая замена относится к виду (32,7) и является допустимой. Поскольку то мы находим окончательно следующее выражение для тензора энергии-импульса электромагнитного поля:

Симметричность этого тензора очевидна. Кроме того-, его след равен нулю:

Выразим компоненты тензора через напряженности электрического и магнитного полей.

С помощью значений из (23,5) легко убедиться в том, что совпадает, как и следовало, с плотностью энергии (31,5), а компоненты — с компонентами вектора Пойнтинга (31,2). Пространственные же компоненты образуют трехмерный тензор с составляющими

и т. д., или

Этот трехмерный тензор называют максвелловским тензором напряжений.

Для приведения тензора к диагональному виду надо произвести преобразование к системе отсчета, в которой векторы Е и Н (в данной точке пространства и в данный момент времени) параллельны друг другу, либо один из них равен нулю; как мы знаем (§ 25), такое преобразование возможно всегда, за исключением случая, когда Е и Н взаимно перпендикулярны и равны по величине. Легко видеть, что после преобразования единственными отличными от нуля компонентами будут

(ось х выбрана в направлении полей).

Если же векторы Е и Н взаимно перпендикулярны и равны по величине, то тензор не может быть приведен к диагональному виду. Отличные от нуля его компоненты в этом случае равны

(причем ось выбрана вдоль направления Е, а ось у — вдоль Н).

До сих пор мы рассматривали поле без зарядов. При наличии заряженных частиц тензор энергии-импульса всей системы представляет собой сумму тензоров энергии-импульса электромагнитного поля и частиц, причем в последнем частицы рассматриваются как невзаимодействующие.

Для определения вида тензора энергии-импульса частиц необходимо описывать распределение масс в пространстве с помощью «плотности массы», аналогично тому, как мы описываем распределение точечных зарядов с помощью их плотности.

Аналогично формуле (28,1) для плотности зарядов, плотность масс можно написать в виде

где — радиус-векторы частиц, а суммирование производится по всем частицам системы.

Плотность импульса частиц напишется в виде Как мы знаем, эта плотность представляет собой компоненты тензора энергии-импульса, т. е.

Но плотность массы является временной компонентой 4-вектоpa (аналогично плотности зарядов, см. § 28). Поэтому тензор энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц есть

Этот тензор, как и следовало, симметричен.

Убедимся прямым вычислением в том, что энергия и импульс системы, определенные как суммы энергий и импульсов поля и частиц, действительно сохраняются. Другими словами, мы должны проверить уравнение

выражающее эти законы сохранения.

Дифференцируя выражение (33,1), пишем:

Подставив сюда согласно уравнениям Максвелла (26,5) и (30,2)]

получим:

Перестановкой индексов легко показать, что первые три члена взаимно сокращаются и остается

Дифференцирование же тензора (33,5) дает:

Первый член в этом выражении обращается в нуль в силу сохранения массы невзаимодействующих частиц. Действительно, величины составляют 4-вектор «тока масс», аналогичный 4-вектору тока зарядов (28,2); сохранение же масс выражается равенством нулю 4-дивергенции этого 4-вектора:

подобно тому, как сохранение заряда выражается уравнением (29.4).

Таким образом, имеем:

Для дальнейшего преобразования воспользуемся уравнением движения зарядов в поле, написанным в четыремерном виде

При переходе к непрерывному распределению заряда и массы имеем, по определению плотностей . Поэтому можно написать уравнение движения в виде

или

Таким образом,

Складывая с (33,7), мы действительно получаем нуль, т. е. приходим к уравнению (33,6).

Задача

Найти закон преобразования плотности энергии, плотности потока энергии и компонент тензора напряжений при преобразовании Лоренца.

Решение. Пусть система координат К движется относительно системы К вдоль оси х со скоростью V. Применяя формулы задачи 1 § 6 к симметричному тензору , находим:

и аналогичные формулы для S и