§ 27. Действие для электромагнитного поля

Действие 5 для всей системы, состоящей из электромагнитного поля вместе с находящимися в нем частицами, должно состоять из трех частей:

есть та часть действия, которая зависит только от свойств частиц, т. е. действие для свободных частиц. Для одной свободной частицы оно дается формулой (8,1). Если имеется несколько частиц, то их общее действие равно сумме действий для каждой частицы в отдельности. Таким образом,

есть та часть действия, которая обусловлена взаимодействием между частицами и полем. Согласно § 16 имеем для системы частиц:

В каждом из членов этой суммы есть потенциал поля в той точке пространства и времени, в которой находится соответствующая частица. Сумма — уже известное нам действие (16,1) для зарядов в поле.

Наконец, есть та часть действия, которая зависит только от свойств самого поля, т. е. — действие для поля в отсутствие зарядов. До тех пор, пока мы интересовались только движением зарядов в заданном электромагнитном поле, как не зависящее от частиц, нас не интересовало, так как этот член не мог повлиять на уравнения движения частицы. Он становится, однако, необходимым, когда мы хотим найти уравнения, определяющие само поле. Этому соответствует то обстоятельство, что из части действия мы нашли только два уравнения, (26,1-2), которые еще недостаточны для полного определения поля.

Для установления вида действия поля мы будем исходить из следующего весьма важного свойства электромагнитных полей. Как показывает опыт, электромагнитное поле подчиняется так называемому принципу суперпозиции: поле, создаваемое системой зарядов, представляет собой результат простого сложения полей, которые создаются каждым из зарядов в отдельности. Это значит, что напряженности результирующего поля в каждой точке равны сумме (векторной) напряженностей в этой точке каждого из полей в отдельности.

Всякое решение уравнений поля является полем, которое может быть осуществлено в природе. Согласно принципу суперпозиции сумма любых таких полей тоже должна быть полем, которое может быть осуществлено в природе, т. е. должно удовлетворять уравнениям поля.

Как известно, линейные дифференциальные уравнения, как раз отличаются тем свойством, что сумма любых его решений тоже является решением. Следовательно, уравнения для поля должны быть линейными дифференциальными уравнениями.

Из сказанного следует, что под знаком интеграла в действии должно стоять выражение, квадратичное по полю. Только в этом случае уравнения поля будут линейными, — уравнения поля получаются варьированием действия, а при варьировании степень подынтегрального выражения понижается на единицу.

В выражение для действия не могут входить потенциалы поля, так как они не определены однозначно (в эта неоднозначность была не существенна). Поэтому должно быть интегралом некоторой функции от тензора электромагнитного поля . Но действие должно быть скаляром и потому должно быть интегралов от некоторого скаляра. Таковым является лишь произведение .

Таким образом, должно иметь вид

где интеграл берется по координатам по всему пространству, а по времени между двумя заданными моментами; а есть некоторая постоянная. Под интегралом стоит Поле Е содержит производную Но легко видеть, что должно входить в действие с положительным знаком (а потому с положительным знаком). Действительно, если бы входило в со знаком минус, то достаточно быстрым изменением потенциала со временем (в рассматриваемом итервале времени) всегда можно было бы сделать отрицательной величиной со сколь угодно большим абсолютным значением; не могло бы, следовательно, иметь минимума, как этого требует принцип наименьшего действия.

Таким образом, а должно быть отрицательным.

Численное значение а зависит от выбора единиц для измерения поля. Заметим, что после выбора определенного значения а вместе с единицами для измерения поля определяются также и единицы для измерения всех остальных электромагнитных величин.

Мы будем в дальнейшем пользоваться так называемой гауссовой системой единиц; в этой системе а есть безразмерная величина, равная .

Таким образом, действие для поля имеет вид

В трехмерном виде:

Другими словами, функция Лагранжа электромагнитного поля

Действие для поля вместе с находящимися в нем зарядами имеет вид

Подчеркнем, что теперь уже заряды отнюдь не считаются малыми; как при выводе уравнений движения заряда в заданном поле. Поэтому относятся к истинному полю, т. е. внешнему полю вместе с полем, созданным самими зарядами; зависят теперь от положения и скорости зарядов.