Главная > Теоретическая физика. Т. II. Теория поля
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 61. Дифракция Фраунгофера

Особый интерес для физических применений имеют дифракционные явления, возникающие при падении на экраны плоскопараллельного пучка лучей. В результате дифракции пучок теряет параллельность и появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Поставим задачу об определении распределения по направлениям интенсивности дифрагированного света на больших расстояниях позади экрана (такая постановка вопроса отвечает так называемой дифракции Фраунгофера). При этом мы снова ограничиваемся случаем малых отклонений от геометрической оптики, т. е. предполагаем малыми углы отклонения от первоначального направления лучей (углы дифракции).

Поставленную задачу можно было бы решить, исходя из общей формулы (59,2), переходя в ней к пределу бесконечно удаленных от экрана источника света и точки наблюдения. Характерной особенностью рассматриваемого случая является при этом то обстоятельство, что в интеграле, определяющем интенсивность дифрагированного света, существенна вся волновая поверхность, по которой производится интегрирование (в противоположность случаю дифракции Френеля, в котором играли роль лишь участки волновой поверхности вблизи края экранов).

Проще, однако, рассмотреть поставленный вопрос заново, не прибегая к помощи общей формулы (59,2).

Обозначим посредством то поле позади экранов, которое имелось бы при строгом соблюдении геометрической оптики. Оно представляет собой плоскую волну, в поперечном сечении которой, однако, имеются участки (отвечающие «тени» непрозрачных экранов) с равным нулю полем. Обозначим посредством S ту часть плоскости поперечного сечения, на которой поле отлично от нуля; поскольку каждая такая плоскость является волновой поверхностью плоской волны, то вдоль всей площади S.

В действительности, однако, волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской (см. § 58). В ее пространственное разложение Фурье входят компоненты с волновыми векторами различных направлений, что и является источником дифракции.

Разложим поле в двухмерный интеграл Фурье по координатам у, z в плоскости поперечного сечения волны. Для компонент Фурье имеем:

где q — постоянный вектор в плоскости ; интегрирование производится фактически лишь по той части S плоскости , на которой «о отлично от нуля. Если к есть волновой вектор падающей волны, то компоненте поля отвечает волновой вектор . Таким образом, вектор к определяет изменение волнового вектора света при дифракции. Поскольку абсолютные значения то малые углы дифракции в плоскостях связаны с составляющими вектора q соотношениями

При малом отклонении от геометрической оптики компоненты разложения поля можно считать совпадающими с компонентами истинного поля дифрагированного света, так что формула (61,1) решает поставленную задачу.

Распределение интенсивности дифрагированного света определяется квадратом как функцией вектора q. Количественная связь с интенсивностью падающего света устанавливается формулой

(ср. (49,8)). Отсюда видно, что относительная интенсивность дифракции в элемент телесного угла дается величиной

Рассмотрим дифракцию Фраунгофера от двух экранов, являющихся «дополнительными» по отношению друг к другу: первый экран имеет отверстия там, где второй непрозрачен, и наоборот. Обозначим посредством поле света, дифрагировавшего на этих экранах (при одинаковом в обоих случаях падающем свете). Поскольку выражаются интегралами (61,1), взятыми по площадям отверстий в экранах, а отверстия в обоих экранах дополняют друг друга до целой плоскости, то сумма есть компонента Фурье поля, получающегося при отсутствии экранов, т. е. просто падающего света. Но падающий свет представляет собой строго плоскую волну с определенным направлением распространения, поэтому при всяком отличном от нуля q. Таким образом, имеем или, для соответствующих интенсивностей,

(61,5)

Это значит, что дополнительные экраны дают одинаковые распределения интенсивности дифрагированного света (так называемый принцип Бабине).

Упомянем здесь об одном интересном следствии принципа Бабине. Рассмотрим какое-нибудь черное тело, т. е. тело, полностью поглощающее весь падающий на него свет. Согласно геометрической оптике при освещении такого тела за ним образовалась бы область геометрической тени, площадь сечения которой была бы равна площади сечения тела в направлении, перпендикулярном к направлению падения света. Наличие дифракции приведет, однако, к частичному отклонению света от первоначального направления. В результате на большом расстоянии позади тела тени не будет, а наряду со светом, распространяющимся в первоначальном направлении, будет также и некоторое количество света, распространяющегося под небольшими углами к своему первоначальному направлению.

Легко определить интенсивность этого, как говорят, рассеянного света. Для этого замечаем, что согласно принципу Бабине количество света, отклонившегося вследствие дифракции на рассматриваемом теле, равно количеству света, отклоняющегося при дифракции от прорезанного в непрозрачном экране отверстия, форма и площадь которого совпадают с формой и площадью поперечного сечения тела. Но при дифракции Фраунгофера от отверстия происходит отклонение всего проходящего через отверстие света. Отсюда следует, что полное количество света, рассеянного на черном теле, равно количеству света, падающего на его поверхность и поглощаемого им.

Задачи

1. Определить дифракцию Фраунгофера при нормальном падении плоской волны на бесконечную щель (ширины 2а) с параллельными краями, прорезанную в непрозрачном экране.

Решение. Выберем плоскость щели в качестве плоскости с осью вдоль длины щели (рис. 13 представляет разрез экрана).

Рис. 13

Рис. 14

При нормальном падении света плоскость щели является одной из волновых поверхностей, которую мы возьмем в качестве поверхности интегрирования в (61,1). Ввиду бесконечности длины щели свет отклоняется только в плоскости (интеграл (61,1) обращается в нуль при Поэтому разложение поля должно производиться лишь по координате у:

Интенсивность дифрагированного света в интервале углов есть

где — полная интенсивность света, падающего на щель.

как функция угла дифракции имеет вид, изображенный на рис. 14. При увеличении 0 в ту или другую сторону от интенсивность пробегает ряд максимумов с быстро убывающей высотой. Максимумы разделены в точках (целые числа) минимумами, в которых интенсивность обращается в нуль.

2. То же при дифракции от решетки — плоского экрана с прорезанным в нем рядом одинаковых параллельных щелей (ширина щели 2а, ширина непрозрачного экрана между соседними щелями 2b, число щелей ).

Решение. Выберем плоскость решетки в качестве плоскости с осью z, параллельной щелям. Дифракция снова происходит лишь в плоскости ху, и интегрирование в (61,1) дает:

где есть результат интегрирования по одной щели. Воспользовавшись результатами задачи 1, получим:

— полная интенсивность света, проходящего через все щели).

При большом числе щелей эту формулу можно написать в ином виде. При значениях (целое число) имеет максимумы; вблизи такого максимума (т. е. при мало)

Но при имеет место формула

Поэтому вблизи каждого максимума имеем:

т. е. максимумы обладают, в пределе, бесконечно малой шириной, а полная интенсивность света в n-м максимуме есть

3. Определить распределение интенсивности по направлениям при дифракции света, падающего в нормальном направлении на круглое отверстие радиуса а.

Решение. Введем цилиндрические координаты с осью , проходящей через центр отверстия перпендикулярно к его плоскости. Очевидно, что дифракция симметрична относительно оси , так что вектор q имеет лишь, радиальную компоненту Отсчитывая угол от направления q и интегрируя в (61,1) по плоскости отверстия, находим; а а

где - функция Бесселя нулевого порядка, С помощью известной формулы

инеем отсюда:

и согласно (61,4) находим окончательно интенсивность света, дифрагвро павшего в элемент телесного угла :

где — полная интенсивность света, падающего на отверстие.

1
Оглавление
email@scask.ru