§ 113. Открытая изотропная модель

Решение, соответствующее изотропному пространству отрицательной кривизны (открытая модель), получается вполне аналогично предыдущему. Вместо (112,2) имеем теперь

(113,1)

Вводим снова вместо t переменную согласно тогда получаем:

(113,2)

Это выражение может быть формально получено из (112,4) заменой , а соответственно на . Поэтому и уравнения поля можно получить просто путем этой же замены из (112,5-6). Уравнение (112,6) сохраняет при этом свой прежний вид:

(113,3)

а вместо (112,5) имеем:

(113,4)

Соответственно этому находим вместо (112,7)

Для пылевидной материи получаем отсюда:

(113,6)

Формулы (113,6) определяют в параметрическом виде зависимость . В отличие от замкнутой модели, здесь радиус кривизны меняется монотонно, возрастая от нуля при до бесконечности при Плотность же материи, соответственно, монотонно убывает от бесконечного значения при (при закон этого убывания дается той же приближенной формулой (112,12), что и в закрытой модели).

Для больших плотностей решение (113,6-7) неприменимо, и надо снова обратиться к случаю . При этом снова получается соотношение

(113,8)

а для зависимости находим:

или при :

(113,9)

(и прежняя формула (112,15) для ). Таким образом, и в открытой модели метрика имеет особую точку (но в отличие от закрытой модели — лишь одну).

Наконец, предельным случаем рассмотренных решений, соответствующим бесконечному радиусу кривизны пространства, является модель с плоским (евклидовым) пространством. Интервал в этой модели можно написать в виде

(113,10)

(в качестве пространственных координат выбраны «декартовы» координаты х, у, z). Зависящий от времени множитель в элементе пространственного расстояния не меняет, очевидно, евклидовости пространственной метрики, так как при заданном t этот множитель постоянен и простым преобразованием координат может быть приведен к единице. Вычисления, аналогичные произведенным в предыдущем параграфе, приводят к следующим уравнениям:

Для случая малых давлений находим:

(113,11)

При малых t опять надо рассматривать случай при котором получаем:

(11312)

Таким образом, и в этом случае метрика имеет особую точку .

Отметим, что все найденные изотропные решения существуют лишь при отличной от нуля плотности материи; для пустого пространства уравнения Эйнштейна не имеют такого рода решений. Упомянем также, что в математическом отношении они являются частным случаем более общего класса решений, содержащего три физически различные произвольные функции пространственных координат (см. задачу).

Задача

Найти общий вид вблизи особой точки для метрики, в которой расширение пространства происходит «квазиоднородным» образом, т. е. так, что все компоненты (в синхронной системе отсчета) стремятся к нулю по одинаковому закону. Пространство заполнено материей с уравнением состояния (Е. М. Лифшщ, И. М. Халатников, 1960).

Решение, Ишем решение вблизи особой точки в виде

где — функции координат (пространственных); ниже полагаем Обратный тензор

где теиэор обратев ниже все операция поднимания индексов и ковариантного дифференцирования производятся при помощи не зависящей от времени метрики а.

Вычисляя левые стороны уравнений (97,11) и (97,12) с необходимой точностью до , получим:

(где ). Учитывая также тождество

найдем:

Трехмерные символы Кристоффеля, а с ними и тензор в первом по приближении не зависят от времени; при этом совпадают с выражениями, получающимися при вычислении с метрикой просто Учитывая это, найдем, что в уравнении (97,13) члены порядка взаимно сокращаются, а члены дают

откуда

(где ). Ввиду тождества

(см. (92,10)) имеет место соотношение

и потому можно переписать в виде

Таким образом, все шесть функций остаются произвольными, а по ним определяются коэффициенты следующего члена разложения (1), Выбор времени в метрике (1) полностью определен условием в особой точке; пространственные же координаты допускают еще произвольные преобразования, не затрагивающие времени (ими можно воспользоваться, например, для приведения тензора к диагональному виду).

Поэтому полученное решение содержит всего три «физически различные» произвольные функции.

Отметим, что в этом решении пространственная метрика неоднородна и анизотропна, а распределение плотности материи стремится к однородному. Трехмерная скорость, v имеет (в приближении (4)) равный нулю ротор, а ее величина стремится к нулю по закону