§ 22. Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях

Наконец, рассмотрим движение заряда в случае одновременного наличия однородных и постоянных электрического и магнитного полей. Мы ограничимся при этом нерелятивистским случаем, когда скорость заряда и потому его импульс как мы увидим ниже, для этого необходимо, чтобы электрическое поле было мало по сравнению с магнитным.

Направление Н выберем за ось , а плоскость, проходящую через векторы Н и Е, за плоскость yz. Тогда уравнения движения

напишутся в виде

Из третьего уравнения видно, что вдоль оси z заряд движется равномерно-ускоренно, т. е.

(22,2)

Умножая второе из уравнений (22,1) на i и складывая с первым, находим:

Интеграл этого уравнения, где рассматривается как неизвестное, равен сумме интеграла этого же уравнения без правой части и частного интеграла уравнения с правой частью. Первый из них есть второй равен Таким образом,

Постоянная а, вообще говоря, комплексная. Написав ее в виде с вещественными b на, мы видим, что поскольку а умножается на то, выбирая соответствующим образом начало отсчета времени, мы можем придать фазе а любое значение. Выберем ее так, чтобы а было вещественно. Тогда, отделяя в мнимую и вещественную части, находим:

(22,3)

При этом в момент времени скорость направлена по оси х.

Мы видим, что компоненты скорости частицы являются периодическими функциями времени; их средние значения равны

Эту среднюю скорость движения заряда в скрещенных электрическом и магнитном полях часто называют скоростью электрического дрейфа. Ее направление перпендикулярно к обоим полям и не зависит от знака заряда. В векторном виде ее можно записать как

Рис. 6

Все формулы этого параграфа применимы, если скорость частицы мала по сравнению со скоростью света; мы видим, что для этого требуется, в частности, чтобы электрическое и магнитное поля удовлетворяли условию

абсолютные же величины и Н могут быть произвольными. Интегрируя еще раз уравнения (22,3) и выбирая постоянные интегрирования так, чтобы при было получаем:

Рассматриваемые как параметрические уравнения кривой, эти уравнения определяют собой так называемую трохоиду. В зависимости то того, больше или меньше абсолютная величина а, чем абсолютная величина проекция траектории частицы на плоскость имет вид, изображенный соответственно на рис. 6, а и рис. 6, б.

Если то (22,6) переходит в

т. е. проекция траектории на плоскость является циклоидой (рис. 6, в).

Задачи

1. Определить релятивистское движение заряда в параллельных однородных электрическом и магнитном полях.

Решение. Магнитное поле не влияет на движение вдоль совместного направления Е и Н (ось ), которое происходит, следовательно, под действием одного лишь электрического поля; поэтому согласно § 20 находим:

Для движения в плоскости ху имеем уравнения:

ИЛИ

Отсюда

где — постоянное значение проекции импульса на плоскость ху, а вспомогательная величина введена согласно соотношению

откуда

Далее имеем:

откуда

Формулы (1—2) вместе с формулой

определяют в параметрическом виде движение частицы. Траектория представляет собой винтовую линию с радиусом и монотонно возрастающим шагом, по которой частица движется с убывающей угловой скоростью и стремящейся к с скоростью вдоль оси .

2. Определить релятивистское движение заряда во взаимно перпендикулярных и равных по величине электрическом и магнитном полях.

Решение. Выбирая ось z вдоль направления Н, а ось у — в направлении Е и полагая Е = Н, напишем уравнения движения:

и, как их следствие, уравнение (17,7):

Из этих уравнений имеем:

Используя также равенство

(где ), находим:

и затем

Далее пишем!

вткуда

Для определения траектории в уравнениях

переходим к переменной согласно после чего интегрирование приводит к формулам

Формулы (1—2) полностью определяют в параметрическом виде (параметр ) движение частицы. Обратим внимание на то, что наиболее быстро возрастает скорость движения в направлении, перпендикулярном Е и Н (ось х).

3. Определить скорость дрейфа ведущего центра орбиты нерелятивистской заряженной частицы в квазиоднородном постоянном магнитном поле (Н. Alfven, 1940).

Решение. Предположим сначала, что частица движется по круговой орбите, т. е. ее скорость не имеет продольной (вдоль поля) составляющей. Представим уравнение траектории частицы в виде где радиус-вектор ведущего центра (медленно меняющаяся функция времени), а быстро осциллирующая величина, изображающая вращательное движение вокруг ведущего центра.

Усредним действующую на частицу силу по периоду осцилляционного (кругового) движения (ср. § 30).

Входящую в нее функцию разложим по степеням :

При усреднении члены первого порядка по осциллирующей величине обращаются в нуль, а член второго порядка приводит к появлению дополнительной силы

Для кругового движения

где — единичный вектор в направлении Н; частота — скорость частицы в ее круговом движении, вреднее значение произведений компонент вектора , вращающегося в плоскости (перпендикулярной к ):

где — единичный тензор в этой плоскости. В результате получим:

В силу уравнений , которым удовлетворяет постоянное поле имеем:

Нас интересует поперечная (по отношению к ) сила, приводящая к смещению орбиты; она равна

где — радиус кривизны силовой линии поля в данной точке, а v — единичный вектор, направленный от центра кривизны к этой точке.

Случай, когда частица обладает также и продольной (вдоль ) скоростью , сводится к предыдущему, если перейти к системе отсчета, вращающейся вокруг мгновенного центра кривизны силовой линии (траектории ведущего центра) с угловой скоростью . В этой системе частица не имеет продольной скорости, но появляется дополнительная поперечная сила — центробежная сила, равная Таким образом, полная поперечная сила

Эта сила эквивалентна постоянному электрическому полю с напряженностью Согласно (22,4) она вызывает дрейф ведущего центра орбиты со скоростью

Знак этой скорости зависит от знака заряда.